9) C=90°, AB=32, sinA = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)

Решение:

Это задача по геометрии, связанная с прямоугольным треугольником. Нам даны:

• Угол \(C = 90°\) (прямой угол).
• Гипотенуза \(AB = 32\).
• Синус угла \(A\), \(\sin A = \frac{\sqrt{3}}{4}\).

Нам нужно найти что-то, предположительно, другие стороны треугольника или углы. Поскольку вопрос не сформулирован, предположим, что нужно найти длину катетов \(AC\) и \(BC\).

1. Нахождение угла A:

   Сначала найдем значение угла \(A\) по его синусу:

   \[ A = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) \]
2. Нахождение катета BC:

   По определению синуса в прямоугольном треугольнике, \(\sin A = \frac{BC}{AB}\). Отсюда:

   \[ BC = AB \cdot \sin A \]

   Подставим известные значения:

   \[ BC = 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3} \]
3. Нахождение катета AC:

   Катет \(AC\) можно найти двумя способами:

   • Используя теорему Пифагора: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\)
   \[ AC^2 = AB^2 - BC^2 = 32^2 - (8\sqrt{3})^2 \]

   \(AC^2 = 1024 - (64 \cdot 3) = 1024 - 192 = 832\)

   \[ AC = \sqrt{832} = \sqrt{64 \cdot 13} = 8\sqrt{13} \]
   • Используя косинус угла A: Сначала найдем \(\cos A\). Так как \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\), то \(\cos^2 A = 1 - \sin^2 A\).

   \(\cos^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}\)

   \(\cos A = \sqrt{\frac{13}{16}} = \frac{\sqrt{13}}{4}\) (так как угол A острый, косинус положительный).

   Теперь найдем \(AC\): \(\cos A = \frac{AC}{AB}\) \(AC = AB \cdot \cos A = 32 \cdot \frac{\sqrt{13}}{4} = 8\sqrt{13}\)

Финальный ответ:

Ответ: Длина катета \(BC = 8\sqrt{3}\), длина катета \(AC = 8\sqrt{13}\).