9. Дан треугольник АВС. Окружность, проходящая через точки А и С, пересекает стороны ВА и ВС соответственно в точках К и М. Найдите подобные треугольники и докажите их подобие.

Решение:

• На окружности с центром O и радиусом R, точки A, C, K, M лежат на окружности.
• Рассмотрим треугольник $$\triangle ABC$$ и $$\triangle KBM$$.
• Угол $$\angle B$$ является общим для обоих треугольников.
• Угол $$\angle BKC$$ является внешним углом вписанного четырехугольника AKMC.
• Свойство вписанного четырехугольника: сумма противоположных углов равна 180 градусам.
• Следовательно, $$\angle AKM + \angle ACM = 180^{\circ}$$.
• Угол $$\angle AKM$$ и угол $$\angle BKM$$ — смежные, поэтому $$\angle AKM + \angle BKM = 180^{\circ}$$.
• Отсюда следует, что $$\angle BKM = \angle ACM$$.
• Аналогично, $$\angle BMC$$ является внешним углом вписанного четырехугольника AKMC.
• $$\angle BKM + \angle BAM = 180^{\circ}$$.
• $$\angle BKM$$ и $$\angle B$$ — смежные углы.
• Это не совсем верно. Рассмотрим вписанный четырехугольник AKMC.
• Углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• Угол $$\angle AKM$$ опирается на дугу AM.
• Угол $$\angle ACM$$ опирается на дугу AM.
• Следовательно, $$\angle AKM = \angle ACM$$.
• Угол $$\angle CMK$$ опирается на дугу CK.
• Угол $$\angle CAK$$ опирается на дугу CK.
• Следовательно, $$\angle CMK = \angle CAK$$.
• Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle KBM$$.
• Угол $$\angle B$$ - общий для $$\triangle ABC$$ и $$\triangle KBM$$.
• Угол $$\angle BKM$$ является внешним углом вписанного четырехугольника AKMC.
• Внешний угол вписанного четырехугольника равен внутреннему противоположному углу.
• Следовательно, $$\angle BKM = \angle BCA$$ (или $$\angle C$$).
• Угол $$\angle BMK$$ является внешним углом вписанного четырехугольника AKMC.
• Следовательно, $$\angle BMK = \angle BAC$$ (или $$\angle A$$).
• Таким образом, в $$\triangle ABC$$ и $$\triangle KBM$$ имеем:
• $$\angle B$$ - общий.
• $$\angle BKM = \angle C$$.
• $$\angle BMK = \angle A$$.
• По двум углам (или по первому и второму признаку подобия треугольников), $$\triangle ABC \sim \triangle KBM$$.

Ответ: $$\triangle ABC \sim \triangle KBM$$.