9. Дано: \(AB \perp \alpha\), \(AC \in \alpha\), \(M\) — середина \(CB\), \(AC=6\), \(AB=8\). Найдите \(AM\).

Так как \(AB \perp \alpha\), а \(AC\) лежит в плоскости \(\alpha\), то \(AB \perp AC\). Значит, треугольник \(ABC\) прямоугольный с прямым углом при \(A\).

1. По теореме Пифагора найдём гипотенузу: \(CB=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\).
2. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Поскольку \(M\) — середина \(CB\), \(AM=\frac{CB}{2}=\frac{10}{2}=5\).

Ответ: \(AM=5\).