9. Дано: AD = 15. Найти периметр трапеции. На рисунке BC = 5, ∠BAC = 30°, ∠CAD = 60°, ∠ACD = 90°; E, A, D лежат на одной прямой, O — точка пересечения AC и BE.

В треугольнике ACD углы при A и C равны 60° и 90°, значит угол при D равен 30°. Сторона AD = 15 — гипотенуза прямоугольного треугольника, поэтому:

\(AC=AD\cos 60^\circ=15\cdot\frac12=\frac{15}{2}\), \(CD=AD\sin 60^\circ=15\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{15\sqrt3}{2}\).

Так как BC = 5 и угол BCA = 30°, треугольник BCA прямоугольный при C. По теореме Пифагора:

\(AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{\left(\frac{15}{2}\right)^2+5^2}=\frac{5\sqrt{13}}{2}\).

Поскольку BC параллельно AD, а E, A, D лежат на одной прямой, угол BAE равен углу ABC, то есть 60°. В треугольнике EAB углы при A и B равны 60° и 30°, поэтому угол E равен 90°. Следовательно, \(AE=AB\cos60^\circ=\frac{5\sqrt{13}}{4}\).

Основание трапеции \(ED=EA+AD=15+\frac{5\sqrt{13}}{4}\). Периметр:

\(P=BC+CD+AD+BE\). В прямоугольном треугольнике EAB гипотенуза \(AB\), поэтому \(BE=AB\sin60^\circ=\frac{5\sqrt{39}}{4}\).

Итак, \(P=5+\frac{15\sqrt3}{2}+15+\frac{5\sqrt{39}}{4}+\frac{5\sqrt{13}}{2}=20+\frac{15\sqrt3+5\sqrt{39}+10\sqrt{13}}{4}\).

Ответ: \(20+\frac{15\sqrt3+5\sqrt{39}+10\sqrt{13}}{4}\).