9) Дано: $BB_1 \parallel CC_1$, $BC \cap \alpha=A$, $B_1\in\alpha$, $C_1\in\alpha$, $B$ — середина $AC$. Доказать: $AC_1:AB_1=2:1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 9) Дано: $BB_1 \parallel CC_1$, $BC \cap \alpha=A$, $B_1\in\alpha$, $C_1\in\alpha$, $B$ — середина $AC$.…$ Фото задания

9) Дано: $BB_1 \parallel CC_1$, $BC \cap \alpha=A$, $B_1\in\alpha$, $C_1\in\alpha$, $B$ — середина $AC$. Доказать: $AC_1:AB_1=2:1$.

Accepted Answer

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую $AC$ и параллельные прямые $BB_1$, $CC_1$. Она пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $AB_1C_1$, поскольку точки $A, B_1, C_1$ принадлежат $\alpha$.

В этой плоскости прямые $BB_1$ и $CC_1$ параллельны.
По условию $B$ — середина $AC$, поэтому $AB=BC$.
В треугольнике $ACC_1$ точка $B$ лежит на стороне $AC$, а прямая через $B$, параллельная $CC_1$, пересекает $AC_1$ в точке $B_1$. По теореме о пропорциональных отрезках $AB_1:AC_1=AB:AC$.
Так как $AB=BC$, имеем $AC=AB+BC=2AB$, следовательно, $AB:AC=1:2$. Значит, $AB_1:AC_1=1:2$.

Ответ: $AC_1:AB_1=2:1$.

9) Дано: \(BB_1 \parallel CC_1\), \(BC \cap \alpha=A\), \(B_1\in\alpha\), \(C_1\in\alpha\), \(B\) — середина \(AC\). Доказать: \(AC_1:AB_1=2:1\).

Ответ: