9 Дано множество М = {1, 2, 3, 4}. Какие из следующих утверждений истинны? a) 2 € М; б) {3, 5} ⊂ M; в) 3 ∈ М; г) М = Ø; д) {2, 4} ⊂ M; е) Ø ⊂ М. Докажите, что если В ⊂ А и С ⊂ В, то С ⊂ А.

Решение:

Дано множество \( M = \{1, 2, 3, 4 \} \). Определим истинность каждого утверждения:

• a) \( 2 \in M \) — Истинно. Число 2 является элементом множества M.
• б) \( \{3, 5 \} \subset M \) — Ложно. Множество \( \{3, 5 \} \) не является подмножеством M, так как элемент 5 отсутствует в M.
• в) \( 3 \in M \) — Истинно. Число 3 является элементом множества M.
• г) \( M = \emptyset \) — Ложно. Множество M не является пустым, оно содержит элементы {1, 2, 3, 4}.
• д) \( \{2, 4 \} \subset M \) — Истинно. Оба элемента 2 и 4 принадлежат множеству M, следовательно, \( \{2, 4 \} \) является подмножеством M.
• е) \( \emptyset \subset M \) — Истинно. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Истинные утверждения: а), в), д), е).

Доказательство:

Дано: \( B \subset A \) и \( C \subset B \).

Это означает, что:

• Каждый элемент множества B принадлежит множеству A.
• Каждый элемент множества C принадлежит множеству B.

Рассмотрим произвольный элемент \( x \) из множества C. Поскольку \( C \subset B \), то \( x \in B \).

Поскольку \( x \in B \) и \( B \subset A \), то \( x \in A \).

Таким образом, любой элемент \( x \), принадлежащий множеству C, также принадлежит множеству A. Это означает, что \( C \subset A \).

Доказано.