9. Даны четыре точки: A(1; −2; 1), B(0; −2; 5), C(−1; −1; 1), D(1; 0; 3). Вычислить площадь основания \(S_{\triangle ABC}\) и объём пирамиды.

Найдём векторы \(\overrightarrow{AB}=(-1;0;4)\) и \(\overrightarrow{AC}=(-2;1;0)\).

Площадь основания равна половине длины векторного произведения:

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-4;-8;-1),\qquad |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{16+64+1}=9.\]

\[S_{\triangle ABC}=\frac{9}{2}.\]

Объём пирамиды вычислим по смешанному произведению. \(\overrightarrow{AD}=(0;2;2)\):

\[V=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})\right|.\]

\[\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}=(2;4;-4),\qquad \overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})=-18.\]

\[V=\frac{|-18|}{6}=3.\]

Ответ: \(S_{\triangle ABC}=\frac{9}{2}\), \(V=3\).