9. Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все дву-гранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в санти-метрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в кубиче-ских сантиметрах.

Решение:

Площадь поверхности детали равна сумме площадей всех её граней.

Вариант а)

Деталь состоит из трёх частей. Разделим её на три прямоугольника:

1. Нижняя горизонтальная часть: длина = 6, ширина = 3, высота = 2. Грани: 2 грани (6x3) + 2 грани (6x2) + 2 грани (3x2) = 2(18) + 2(12) + 2(6) = 36 + 24 + 12 = 72.
2. Вертикальная стойка: длина = 3, ширина = 3, высота = 3. Грани: 2 грани (3x3) + 4 грани (3x3) = 2(9) + 4(9) = 18 + 36 = 54.
3. Боковая горизонтальная часть: длина = 3, ширина = 3, высота = 2. Грани: 2 грани (3x3) + 2 грани (3x2) + 2 грани (3x2) = 2(9) + 2(6) + 2(6) = 18 + 12 + 12 = 42.

Для более точного расчёта, рассмотрим все грани:

• Две грани размером \( 6 \times 3 \) = \( 2 \times 18 = 36 \) см².
• Две грани размером \( 2 \times 3 \) = \( 2 \times 6 = 12 \) см².
• Две грани размером \( 3 \times 3 \) (боковые части вертикальной стойки) = \( 2 \times 9 = 18 \) см².
• Две грани размером \( 3 \times 3 \) (передняя и задняя части вертикальной стойки) = \( 2 \times 9 = 18 \) см².
• Две грани размером \( 3 \times 2 \) (боковые части нижней платформы) = \( 2 \times 6 = 12 \) см².
• Две грани размером \( 3 \times 2 \) (передняя и задняя части верхней части) = \( 2 \times 6 = 12 \) см².
• Две грани размером \( 3 \times 3 \) (верхние грани вертикальной стойки и боковой части) = \( 2 \times 9 = 18 \) см².
• Две грани размером \( 6 \times 2 \) (передняя и задняя грани нижней платформы) = \( 2 \times 12 = 24 \) см².

Суммируем площади всех уникальных граней, учитывая, что некоторые грани являются частью общей поверхности:

Нижняя грань: \( 6 \times 3 = 18 \) см².

Передняя грань: \( (6 \times 2) + (3 \times 3) + (3 \times 2) = 12 + 9 + 6 = 27 \) см².

Задняя грань: \( (6 \times 2) + (3 \times 3) + (3 \times 2) = 12 + 9 + 6 = 27 \) см².

Левая грань: \( (3 \times 2) + (3 \times 3) = 6 + 9 = 15 \) см².

Правая грань: \( (3 \times 2) + (3 \times 3) = 6 + 9 = 15 \) см².

Верхняя грань: \( (3 \times 3) + (3 \times 2) = 9 + 6 = 15 \) см².

Общая площадь поверхности: \( 18 + 27 + 27 + 15 + 15 + 15 = 117 \) см².

Вариант б)

Эта деталь состоит из двух прямоугольных параллелепипедов:

1. Нижний параллелепипед: размеры \( 3 \times 3 \times 3 \). Его площадь поверхности \( S_1 = 6 \times (3 \times 3) = 6 \times 9 = 54 \) см² (если бы он был цельным).
2. Верхний параллелепипед: размеры \( 4 \times 3 \times 3 \). Его площадь поверхности \( S_2 = 2(4 \times 3) + 2(4 \times 3) + 2(3 \times 3) = 2(12) + 2(12) + 2(9) = 24 + 24 + 18 = 66 \) см² (если бы он был цельным).

Однако, нижний параллелепипед имеет вырез, а верхний примыкает к нижнему. Разделим на грани:

• Нижняя грань: \( 7 \times 3 = 21 \) см² (учитывая вырез, это будет \( (7-3) \times 3 + 3 \times 3 = 12+9=21 \) ).
• Передняя грань: \( 7 \times 4 = 28 \) см².
• Задняя грань: \( 7 \times 4 = 28 \) см².
• Левая грань: \( 3 \times 4 = 12 \) см².
• Правая грань: \( 3 \times 4 = 12 \) см².
• Верхняя грань: \( (3 \times 3) + (4 \times 3) = 9 + 12 = 21 \) см².

Общая площадь поверхности: \( 21 + 28 + 28 + 12 + 12 + 21 = 122 \) см².

Ответ: а) 117 см², б) 122 см².