9. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство: 1) (p − 3)(p + 4) < p(p + 1); 2) (x + 1)² > x(x + 2); 3) (a − 5)(a + 2) > (a + 5)(a − 8); 4) y(y + 8) < (y + 4)²; 5) (2a − 5)² ≤ 6a² − 20a + 25; 6) a² + 4 ≥ 4a.

1. Раскроем скобки:

   \((p-3)(p+4)=p^2+p-12\), а \(p(p+1)=p^2+p\).

   Так как \(p^2+p-12<p^2+p\), неравенство верно.

2. \((x+1)^2=x^2+2x+1\), \(x(x+2)=x^2+2x\).

   Следовательно, \(x^2+2x+1>x^2+2x\), так как \(1>0\).

3. Раскроем скобки:

   \((a-5)(a+2)=a^2-3a-10\),

   \((a+5)(a-8)=a^2-3a-40\).

   Так как \(a^2-3a-10>a^2-3a-40\), неравенство верно.

4. \(y(y+8)=y^2+8y\), а \((y+4)^2=y^2+8y+16\).

   Следовательно, \(y^2+8y<y^2+8y+16\), так как \(16>0\).

5. Раскроем скобки:

   \((2a-5)^2=4a^2-20a+25\).

   Сравним с правой частью:

   \(6a^2-20a+25-(4a^2-20a+25)=2a^2\geq0\).

   Значит, \((2a-5)^2\leq6a^2-20a+25\).

6. Перенесём всё в левую часть:

   \(a^2+4-4a=a^2-4a+4=(a-2)^2\).

   Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому \((a-2)^2\geq0\). Следовательно, \(a^2+4\geq4a\).

Ответ: все шесть неравенств верны при любых значениях переменных.