9. \(f(x)=(2x+1)\cdot\cos 2x\) funksiya uchun \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)-f'\left(\frac{\pi}{4}\right)\) qiymatini toping.

Перевод задания: Для функции \(f(x)=(2x+1)\cdot\cos 2x\) найдите значение \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)-f'\left(\frac{\pi}{4}\right)\).

Hosilani ko‘paytmani differensiallash qoidasiga ko‘ra topamiz:

\(f'(x)=2\cos 2x-2(2x+1)\sin 2x.\)

\(x=\frac{\pi}{4}\) da \(2x=\frac{\pi}{2}\), shuning uchun \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), \(\sin\frac{\pi}{2}=1\).

\(f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\pi}{2}+1\right)\cdot 0=0.\)

\(f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\cdot 0-2\left(\frac{\pi}{2}+1\right)\cdot 1=-(\pi+2).\)

So‘ralgan qiymat: \(0-[-(\pi+2)]=\pi+2.\)

Javob: \(\pi+2\).

Перевод решения:

Находим производную по правилу дифференцирования произведения: \(f'(x)=2\cos 2x-2(2x+1)\sin 2x.\)

При \(x=\frac{\pi}{4}\) получаем \(2x=\frac{\pi}{2}\), поэтому \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), \(\sin\frac{\pi}{2}=1\).

\(f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\pi}{2}+1\right)\cdot 0=0.\)

\(f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\cdot 0-2\left(\frac{\pi}{2}+1\right)\cdot 1=-(\pi+2).\)

Искомое значение: \(0-[-(\pi+2)]=\pi+2.\)

Ответ: \(\pi+2\).