9. Исследование. Многие Пифагоровы тройки начинаются с нечётных чисел. 1) Возведите в квадрат первое число Пифагоровой тройки. Есть ли связь между ним и двумя другими числами? 2) Приняв Пифагоровы тройки за x, y, y+1, запишите результат, полученный в пункте 1, выразив y через x. 3) Можно ли по результатам пункта 2 утверждать, что существует бесконечное число Пифагоровых чисел? 4) При помощи программы Excel составьте таблицу всех Пифагоровых троек, если первое число находится в интервале от 3 до 31. На рисунке приведены тройки: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61).

Для приведённых троек квадрат первого числа равен разности квадратов двух остальных:

\(3^2=5^2-4^2=9\), \(5^2=13^2-12^2=25\), \(7^2=25^2-24^2=49\). Следовательно, если тройка имеет вид \((x,y,y+1)\), то \(x^2=(y+1)^2-y^2\).

Раскроем скобки и упростим:

\(x^2=(y+1)^2-y^2=y^2+2y+1-y^2=2y+1\).

Отсюда \(y=\frac{x^2-1}{2}\). Поэтому подходящая тройка задаётся формулой \(\left(x,\frac{x^2-1}{2},\frac{x^2+1}{2}\right)\), если \(x\) — нечётное целое число.

Формула даёт целые числа для каждого нечётного \(x\). Подстановка показывает, что \(x^2+\left(\frac{x^2-1}{2}\right)^2=\left(\frac{x^2+1}{2}\right)^2\). Нечётных положительных чисел бесконечно много, значит, существует бесконечно много таких Пифагоровых троек.

Условие неоднозначно: «все Пифагоровы тройки» может означать либо все тройки, у которых первое число в указанном интервале, либо лишь семейство троек с двумя последовательными большими числами, изученное выше. Приведённая рядом таблица относится именно ко второму семейству. Для него формула даёт:

Если же требуются вообще все Пифагоровы тройки с первым числом от 3 до 31, у исходного условия не указано, должны ли остальные числа быть последовательными. Для полного списка нужно уточнить этот пункт; таблица выше полностью решает вариант по формуле из задания.