Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Задание 9. Графики движения
Условие:
- Расстояние между пунктами А и Б: 150 км.
- Велосипедист выехал из А в 7:00.
- Автомобиль выехал из Б навстречу велосипедисту.
- Автомобиль доехал до А, сделал остановку на 3 часа, затем поехал обратно в Б.
- График 1 — движение велосипедиста.
- График 2 — движение автомобиля (только путь из Б в А).
- Горизонтальная ось — время (t, ч).
- Вертикальная ось — расстояние до пункта А (S, км).
1) Сколько километров проехал велосипедист после встречи с автомобилем?
Анализ графика:
1. График 1 (велосипедист) начинается в точке (0, 0) и идет вверх, что означает движение из пункта А.
2. График 2 (автомобиль) начинается на некотором расстоянии от пункта А (вертикальная ось) и идет вниз к точке (0, 0), что означает движение из пункта Б навстречу велосипедисту. Первая точка пересечения графиков 1 и 2 — это момент и место их встречи.
3. Встреча происходит при \( t = 10 \) часов (по горизонтальной оси) и \( S = 100 \) км (по вертикальной оси), то есть на расстоянии 100 км от пункта А.
4. После встречи (в \( t = 10 \) ч), велосипедист продолжает движение из пункта А. Его график (линия 1) идет вверх до \( S = 150 \) км (пункт Б).
5. График 1 пересекает линию \( S = 150 \) км (пункт Б) в точке \( t = 15 \) часов. Это время, когда велосипедист достиг пункта Б.
6. Время движения велосипедиста после встречи: \( 15 \) ч - \( 10 \) ч = \( 5 \) часов.
7. Расстояние, которое проехал велосипедист после встречи, равно разнице между пунктом Б (150 км) и местом встречи (100 км): \( 150 \) км - \( 100 \) км = \( 50 \) км.
Ответ: 50
2) На том же рисунке достройте график движения автомобиля до момента возвращения в пункт Б.
Анализ графика и условие:
1. Автомобиль выехал из Б навстречу велосипедисту. График 2 показывает движение автомобиля из Б в А. Встреча произошла в точке (10 ч, 100 км).
2. Автомобиль доехал до пункта А (150 км от А, т.е. 0 км от А). Точка на графике, где автомобиль прибывает в пункт А, соответствует \( S=0 \) км. По графику 1, велосипедист в момент \( t = 15 \) ч достигает пункта Б (150 км). График 2 (автомобиль) заканчивается в точке, где \( S = 0 \) км. Нужно найти время, когда автомобиль достиг пункта А. Так как автомобиль ехал навстречу велосипедисту, и они встретились в 10 часов на расстоянии 100 км от А, то автомобиль проехал 50 км (150 - 100). Скорость автомобиля можно определить по этому отрезку: \( V_{авто} = 50 \text{ км} / (10 \text{ ч} - t_{выезда_автомобиля}) \). По графику 1, велосипедист едет со скоростью \( V_{вел} = 150 \text{ км} / 15 \text{ ч} = 10 \text{ км/ч} \). На момент встречи (10 часов) велосипедист проехал 100 км. Если автомобиль выехал позже, например, в 8 часов, то велосипедист ехал 2 часа. Тогда скорость автомобиля \( V_{авто} = 50 \text{ км} / (10-8) = 25 \text{ км/ч} \). Тогда автомобиль доехал бы до А за \( 150 \text{ км} / 25 \text{ км/ч} = 6 \) часов. Значит, автомобиль прибыл в А в \( 7 + 6 = 13 \) часов. Если автомобиль выехал одновременно с велосипедистом (в 7 часов), то скорость автомобиля \( V_{авто} = 50 \text{ км} / (10-7) = 50/3 \text{ км/ч} \). Тогда автомобиль доехал бы до А за \( 150 \text{ км} / (50/3) \text{ км/ч} = 9 \) часов. Прибытие в А было бы в \( 7 + 9 = 16 \) часов. Давайте предположим, что автомобиль выехал через 1 час после велосипедиста, т.е. в 8:00. Скорость велосипедиста \( V_{вел} = 150/15 = 10 \) км/ч. За 1 час велосипедист проехал 10 км. Оставшееся расстояние 140 км. \( t \) - время после 8:00. \( 10 + 25t = 140 - 10t \) \( 35t = 130 \) \( t = 130/35 ≈ 3.7 \) часа. Значит, встреча в \( 8 + 3.7 = 11.7 \) часов. Этот вариант не подходит, т.к. встреча в 10 часов. Если предположить, что автомобиль выехал через 2 часа, т.е. в 9:00. \( 10 + 20t = 140 - 10t \) \( 30t = 130 \) \( t = 130/30 ≈ 4.3 \) часа. Встреча в \( 9 + 4.3 = 13.3 \) часа. Не подходит. Давайте предположим, что автомобиль выехал в 7:00, то есть одновременно с велосипедистом. Скорость велосипедиста: \( V_1 = 150 \text{ км} / 15 \text{ ч} = 10 \text{ км/ч} \). Путь велосипедиста к моменту встречи: \( S_1 = 100 \text{ км} \). Время в пути: \( t_1 = S_1 / V_1 = 100 \text{ км} / 10 \text{ км/ч} = 10 \text{ ч} \). Значит, встреча произошла в \( 7:00 + 10 \text{ ч} = 17:00 \). Но на графике встреча происходит в 10 часов. Значит, предположение о выезде в 7:00 неверно. Давайте определим время выезда автомобиля, исходя из точки встречи (10 ч, 100 км) и скорости велосипедиста (10 км/ч). Велосипедист проехал 100 км за 10 часов. Если он выехал в 7:00, то встреча в 17:00. Но на графике встреча в 10:00. Перечитаем условие: "расстояние между которыми равно 150 км, в 7 часов утра выехал велосипедист, а через некоторое время из пункта Б навстречу ему выехал автомобиль." и "По горизонтали указано время, а по вертикали расстояние до пункта А." График 1: Велосипедист. Начинает движение из А (S=0) в 7:00. Достигает Б (S=150) в 15:00. Скорость велосипедиста \( V_1 = 150 / (15 - 7) = 150 / 8 = 18.75 \) км/ч. Это не совпадает с графиком, где велосипедист достигает Б в 15 часов. Значит, время на графике начинается с 0, а не с 7 часов. Предположим, что 0 на оси времени соответствует 7:00. Тогда встреча происходит в 10:00, то есть через 3 часа после выезда велосипедиста. Велосипедист проехал \( 10 \times 3 = 30 \) км. Но на графике встреча в 100 км. Перечитаем описание графика: "По горизонтали указано время, а по вертикали расстояние до пункта А." Ось времени начинается с 0, но это не значит, что 0 часов - это 7 утра. Пусть 7:00 соответствует некоторому \( t_0 \). График 1: \( S(t) = V_1 (t - t_0) \). График 2: \( S(t) = 150 - V_2 (t - t_{start2}) \). Если принять, что 7 часов утра — это начало отсчета времени на графике, т.е. \( t=0 \) на графике соответствует 7:00. Скорость велосипедиста: \( V_1 = 150 \text{ км} / 15 \text{ ч} = 10 \text{ км/ч} \). В момент встречи \( t=10 \) ч, \( S=100 \) км. Это значит, что велосипедист проехал 100 км за 10 часов. Его скорость \( V_1 = 100 \text{ км} / 10 \text{ ч} = 10 \text{ км/ч} \). Это совпадает с расчетом по всей дистанции. Итак, \( t=0 \) на графике соответствует 7:00. Автомобиль выехал из Б (S=150) навстречу. Встреча в \( t=10 \) ч, \( S=100 \) км. Это значит, что автомобиль проехал \( 150 - 100 = 50 \) км. Время в пути для автомобиля до встречи: \( t_{встречи} - t_{выезда_авто} = 10 - t_{выезда_авто} \). Скорость автомобиля \( V_2 = 50 / (10 - t_{выезда_авто}) \). Автомобиль доехал до пункта А (S=0). Пусть время прибытия в А равно \( t_A \). Расстояние от Б до А равно 150 км. Если автомобиль ехал из Б в А, то \( 150 = V_2 (t_A - t_{выезда_авто}) \). На графике 2 видно, что автомобиль достигает \( S=0 \) (пункт А) в \( t=20 \) часов. Следовательно, \( t_A = 20 \) ч. Теперь мы знаем, что автомобиль проехал 150 км из Б в А за \( t_A - t_{выезда_авто} = 20 - t_{выезда_авто} \) часов. Из точки встречи (10 ч, 100 км) до пункта А (20 ч, 0 км), автомобиль проехал 100 км за \( 20 - 10 = 10 \) часов. Его скорость \( V_2 = 100 \text{ км} / 10 \text{ ч} = 10 \text{ км/ч} \). Скорость автомобиля = 10 км/ч. Теперь найдем время выезда автомобиля: \( 150 = 10 (20 - t_{выезда_авто}) \) \( 15 = 20 - t_{выезда_авто} \) \( t_{выезда_авто} = 5 \) часов. Значит, автомобиль выехал в \( t=5 \) часов. В 7:00 это соответствует \( 7:00 + 5 \text{ ч} = 12:00 \). Это противоречит тому, что велосипедист выехал в 7:00. Получается, что автомобиль выехал позже велосипедиста. Давайте предположим, что время на графике начинается в 7:00. Велосипедист: выехал в 7:00 (t=0), достиг Б (150 км) в 15:00 (t=8). Скорость \( V_1 = 150 / 8 = 18.75 \) км/ч. Встреча в 10:00 (t=3), S=100 км. Проверим скорость велосипедиста: \( 18.75 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 56.25 \) км. Не 100 км. График 1 не соответствует условию. Перечитаем условие еще раз. "На рисунке график движения велосипедиста обозначен цифрой 1, график движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён только на пути из Б в А. По горизонтали указано время, а по вертикали расстояние до пункта А." Смотрим на график 1. Он начинается в (0, 0) и идет до (15, 150). Значит, велосипедист едет 15 часов от начала отсчета времени. Его скорость \( V_1 = 150/15 = 10 \text{ км/ч} \). Смотрим на график 2. Он начинается где-то в \( t=t_{start2} \) и заканчивается в \( t=20 \) ч, где \( S=0 \) (пункт А). На этом участке автомобиль ехал из Б в А. Максимальное расстояние от А - это 150 км (пункт Б). Автомобиль прибыл в А в \( t=20 \) ч. Встреча происходит в точке, где пересекаются графики 1 и 2. Это \( t=10 \) ч и \( S=100 \) км. Скорость велосипедиста \( V_1 = 10 \text{ км/ч} \). В \( t=10 \) ч он проехал \( 10 \times 10 = 100 \text{ км} \). Это совпадает с графиком. Скорость автомобиля можно найти по участку из Б в А. Автомобиль прибыл в А (S=0) в \( t=20 \) ч. Встреча произошла в \( t=10 \) ч на расстоянии \( S=100 \) км от А. Значит, до встречи автомобиль проехал \( 150 - 100 = 50 \) км. Время в пути до встречи: \( 10 - t_{start2} \). Скорость автомобиля \( V_2 = 50 / (10 - t_{start2}) \). Автомобиль проехал расстояние от Б до А (150 км) за время \( 20 - t_{start2} \). Значит, \( V_2 = 150 / (20 - t_{start2}) \). Приравниваем скорости: \( 50 / (10 - t_{start2}) = 150 / (20 - t_{start2}) \) \( 50(20 - t_{start2}) = 150(10 - t_{start2}) \) \( 1000 - 50t_{start2} = 1500 - 150t_{start2} \) \( 100t_{start2} = 500 \) \( t_{start2} = 5 \) часов. Значит, автомобиль выехал из Б в \( t=5 \) часов. Скорость автомобиля \( V_2 = 150 / (20 - 5) = 150 / 15 = 10 \text{ км/ч} \). Проверим: в \( t=10 \) ч автомобиль проехал \( V_2 \times (10 - 5) = 10 \times 5 = 50 \) км из Б. Расстояние от А: \( 150 - 50 = 100 \text{ км} \). Это совпадает. Итак: - Велосипедист выехал в \( t=0 \) (7:00), скорость \( V_1 = 10 \text{ км/ч} \). Достиг Б в \( t=15 \) ч. - Автомобиль выехал в \( t=5 \) ч (9:00), скорость \( V_2 = 10 \text{ км/ч} \). Достиг А в \( t=20 \) ч. - Встреча произошла в \( t=10 \) ч на \( S=100 \) км от А. 1) Сколько километров проехал велосипедист после встречи с автомобилем? Встреча в \( t=10 \) ч, \( S=100 \) км. Велосипедист едет до пункта Б (\( S=150 \) км). Он достигнет Б в \( t=15 \) ч. Время после встречи: \( 15 \text{ ч} - 10 \text{ ч} = 5 \text{ ч} \). Расстояние, пройденное велосипедистом после встречи: \( V_1 \times (15 - 10) = 10 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 50 \text{ км} \). Ответ: 50 2) На том же рисунке достройте график движения автомобиля до момента возвращения в пункт Б. Автомобиль прибыл в пункт А (\( S=0 \)) в \( t=20 \) ч. Он должен вернуться в пункт Б (\( S=150 \) км). Его скорость \( V_2 = 10 \text{ км/ч} \). Время в пути обратно в Б: \( 150 \text{ км} / 10 \text{ км/ч} = 15 \text{ ч} \). Автомобиль выедет из пункта А в \( t=20 \) ч. Время прибытия в Б: \( 20 \text{ ч} + 15 \text{ ч} = 35 \text{ ч} \). На графике нужно достроить линию, которая начинается в точке \( (20, 0) \) и идет вверх до точки \( (35, 150) \). Это прямая линия с той же скоростью \( V_2 = 10 \text{ км/ч} \), но с другим временем начала движения из А.
