9. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 5 см и 8 см. Проекция одной из них на 3 см больше другой. Найдите проекции наклонных.

Пусть проекция наклонной длиной 5 см равна \(x\) см, а проекция наклонной длиной 8 см — \(x+3\) см. Это соответствие верно, поскольку при одинаковом расстоянии от точки до плоскости более длинной наклонной соответствует более длинная проекция.

Обозначим расстояние от точки до плоскости через \(h\). По теореме Пифагора:

\(x^2+h^2=25\), \((x+3)^2+h^2=64\).

Вычтем первое равенство из второго: \((x+3)^2-x^2=39\), откуда \(6x+9=39\) и \(x=5\). Тогда из первого равенства \(h^2=25-25=0\).

Получается, что точка лежит в плоскости, а не вне её. Следовательно, исходные данные противоречивы: две наклонные из точки, не лежащей в плоскости, с указанными длинами и разностью проекций существовать не могут. Значения 5 см и 8 см для проекций дали бы только вырожденный случай.

Ответ: такого случая не существует; данные задачи несовместимы.