9 кл. К\P Вариант І 1. Дана трапеция ABCD. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при симметрии относительно прямой, содержащей боковую сторону AB. 2. Две окружности с центрами O₁ и O₂, радиусы которых равны, пересекаются в точках M и N. Через точку M проведена прямая, параллельная O₁O₂ и пересекающая окружность с центром O₂ в точке D. Используя параллельный перенос, докажите, что четырехугольник O₁MDO₂ является параллелограммом.

Решение:

Задача 1: Построение фигуры при симметрии относительно прямой.

1. Построение трапеции ABCD: Необходимо построить произвольную трапецию ABCD.
2. Выбор прямой симметрии: Прямая, содержащая боковую сторону AB.
3. Построение образа: Для построения образа трапеции ABCD при симметрии относительно прямой AB, необходимо для каждой вершины (A, B, C, D) найти ее симметричное отражение относительно прямой AB.
• Вершины A и B лежат на прямой симметрии, поэтому они отображаются сами в себя (A' = A, B' = B).
• Для вершин C и D необходимо провести перпендикуляры из каждой точки к прямой AB и отложить на продолжении этих перпендикуляров отрезки, равные исходным, в противоположную сторону от прямой AB. Обозначим эти точки C' и D'.
4. Формирование образа: Соединив полученные точки A', B', C', D' (которые равны A, B, C', D' соответственно), получим искомую фигуру A'B'C'D' (или ABCD'), которая является образом трапеции ABCD при симметрии относительно прямой AB.

Задача 2: Доказательство того, что четырехугольник O₁MDO₂ является параллелограммом.

1. Условие: Даны две окружности с центрами O₁ и O₂, имеющие равные радиусы. Они пересекаются в точках M и N. Через точку M проведена прямая, параллельная O₁O₂, которая пересекает окружность с центром O₂ в точке D.
2. Свойства равных окружностей: Так как радиусы окружностей равны, то O₁M = O₁N = O₂M = O₂N = R (где R - радиус окружностей).
3. Параллелограмм O₁MDO₂: Нам нужно доказать, что O₁MDO₂ является параллелограммом. Для этого достаточно доказать, что его противоположные стороны попарно параллельны или равны.
4. Рассмотрение отрезков:
• Отрезок O₁M является радиусом окружности с центром O₁, следовательно, O₁M = R.
• Отрезок O₂D является радиусом окружности с центром O₂, следовательно, O₂D = R.
• Таким образом, O₁M = O₂D = R.
5. Использование параллельного переноса: По условию, прямая MD параллельна отрезку O₁O₂.
• Поскольку O₁M и O₂D являются радиусами равных окружностей, то O₁M = O₂D.
• Мы имеем четырехугольник O₁MDO₂, в котором отрезок O₁M параллелен O₂D (так как прямая MD параллельна O₁O₂, а O₁M и O₂D лежат на прямых, проходящих через O₁ и O₂ соответственно, и являются радиусами).
• Однако, чтобы доказать параллельность O₁O₂ и MD, нам нужно исходить из условия, что прямая, проходящая через M, параллельна O₁O₂.
• Рассмотрим векторный перенос, который переводит точку M в точку D. Если мы предположим, что O₁MDO₂ - параллелограмм, то вектор O₁M должен быть равен вектору O₂D, или вектор O₁O₂ должен быть равен вектору MD.
• Из условия, что радиусы равны, мы имеем O₁M = O₂M (это неверно, O₂M - радиус, O₁M - радиус). O₁M = O₂M = R.
• Переформулируем: O₁M = R (радиус окружности с центром O₁), O₂D = R (радиус окружности с центром O₂). Следовательно, O₁M = O₂D.
• Параллельность: Так как прямая MD параллельна O₁O₂, и O₁M и O₂D являются радиусами равных окружностей, то мы можем рассмотреть параллельный перенос, который переводит O₁ в O₂. Если такой перенос переводит M в D, то O₁MDO₂ - параллелограмм.
• Геометрическое доказательство:
• Рассмотрим треугольники O₁MN и O₂MN. Они равны по трем сторонам (O₁M = O₂M = R, O₁N = O₂N = R, MN - общая сторона).
• Это означает, что O₁O₂ является серединным перпендикуляром к MN.
• Рассмотрим параллельный перенос, который переводит O₁ в O₂. Так как радиусы равны, этот перенос должен перевести точки окружности с центром O₁ в точки окружности с центром O₂.
• По условию, прямая, проходящая через M, параллельна O₁O₂ и пересекает окружность с центром O₂ в точке D.
• Рассмотрим вектор $$\vec{O_1M}$$. Если параллельный перенос с вектором $$\vec{O_1O_2}$$ переводит M в D, то $$\vec{O_1M} = \vec{DO_2}$$. Это не совсем так.
• Ключевое свойство: Поскольку O₁M = O₂D = R, и мы имеем прямую, проходящую через M, параллельную O₁O₂, которая пересекает окружность с центром O₂ в точке D.
• Пусть O₁O₂ - отрезок, соединяющий центры. Пусть M - одна из точек пересечения. Прямая, проходящая через M, параллельна O₁O₂.
• Рассмотрим векторы: $$\vec{O_1M}$$ и $$\vec{DO_2}$$.
• В четырехугольнике O₁MDO₂, у нас есть O₁M = R и O₂D = R, следовательно O₁M = O₂D.
• Прямая MD параллельна O₁O₂.
• Рассмотрим параллельный перенос, переводящий O₁ в O₂. Этот перенос переводит окружность с центром O₁ в окружность с центром O₂.
• Точка M лежит на окружности с центром O₁. Точка D лежит на окружности с центром O₂.
• Поскольку O₁M = O₂D, и прямая MD параллельна O₁O₂, это означает, что векторы $$\vec{O_1M}$$ и $$\vec{DO_2}$$ либо равны, либо противоположно направлены.
• Доказательство с помощью векторов: Пусть O₁ - начало координат (0,0). Пусть O₂ = (d, 0), где d = |O₁O₂|. Радиус R.
• Пусть M = (x₁, y₁). Тогда $$x₁^2 + y₁^2 = R²$$.
• Прямая, проходящая через M, параллельна O₁O₂. Ее уравнение: $$y = y₁$$.
• Эта прямая пересекает окружность с центром O₂ (x-d)² + y² = R².
• Подставляем y = y₁: (x-d)² + y₁² = R².
• $$x² - 2dx + d² + y₁² = R²$$.
• Так как $$x₁² + y₁² = R²$$, то $$y₁² = R² - x₁²$$.
• $$x² - 2dx + d² + R² - x₁² = R²$$.
• $$x² - 2dx + d² - x₁² = 0$$.
• Мы знаем, что O₂D - радиус, и D лежит на окружности с центром O₂.
• Переосмыслим условие: