9 класс. 2. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны CD. N — точка на стороне AD, такая, что AN:ND = 1:2. Выразите векторы CN и MN через векторы \(\vec b=\overrightarrow{BC}\) и \(\vec a=\overrightarrow{BA}\).

Обозначим начало отсчёта точкой B. Тогда \(\overrightarrow{BA}=\vec a\), а \(\overrightarrow{BC}=\vec b\). В параллелограмме \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), поэтому \(\overrightarrow{BD}=\vec a+\vec b\).

1. Так как \(AN:ND=1:2\), точка N делит AD в отношении 1:2 от A, следовательно, \(\overrightarrow{AN}=\frac13\vec b\). Отсюда \(\overrightarrow{BN}=\vec a+\frac13\vec b\).
2. Вектор \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BC}\). Значит, \(\overrightarrow{CN}=\vec a+\frac13\vec b-\vec b=\vec a-\frac23\vec b\).
3. M — середина CD. Поскольку \(\overrightarrow{CD}=-\vec a\), получаем \(\overrightarrow{CM}=-\frac12\vec a\), а значит \(\overrightarrow{BM}=\vec b-\frac12\vec a\).
4. Тогда \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}=\vec a+\frac13\vec b-(\vec b-\frac12\vec a)=\frac32\vec a-\frac23\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{CN}=\vec a-\frac23\vec b\), \(\overrightarrow{MN}=\frac32\vec a-\frac23\vec b\).