9 класс, C—2, B—2. 1. Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Постройте вектор \(\vec m=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CA}\) и найдите \(|\vec m|\), если \(BC=9\) см. 2. На рисунке MNKE — прямоугольник. Выразите: а) \(\overrightarrow{MK}\) через \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{ME}\); б) \(\overrightarrow{NE}\) через \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{ME}\).

1. Так как \(-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}\),

\[\vec m=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}.\]

По правилу сложения векторов \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\). Поэтому \(\vec m=2\overrightarrow{BC}\): вектор направлен так же, как \(\overrightarrow{BC}\), и вдвое длиннее.

\[|\vec m|=2|\overrightarrow{BC}|=2\cdot9=18\text{ см}.\]

Построение: отложить два последовательных вектора, равных и сонаправленных с \(\overrightarrow{BC}\); их сумма и есть \(\vec m\).

Ответ: \(\vec m=2\overrightarrow{BC}\), \(|\vec m|=18\) см.

2. Обозначим \(\overrightarrow{MN}=\vec u\), \(\overrightarrow{ME}=\vec v\). В прямоугольнике противоположные стороны равны и сонаправлены как векторы при соответствующем обходе: \(\overrightarrow{NK}=\overrightarrow{ME}\), а \(\overrightarrow{EN}=-\overrightarrow{ME}\).

а) По правилу треугольника:

\[\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NK}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ME}.\]

б) Идя из \(N\) в \(E\) через \(M\), получаем:

\[\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{ME}=-\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{MN}.\]

Ответ: а) \(\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ME}\); б) \(\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{MN}\).