9 класс, C—3, B—1. 1. Начертите два неколлинеарных вектора $\vec a$ и $\vec b$ так, что $|\vec a|=3$ см, $|\vec b|=2$ см. Постройте вектор $\vec p=3\vec a-\frac12\vec b$. 2. В параллелограмме KMNP точка B — середина стороны MN, A — точка на отрезке PN, такая, что PA:AN=2:1. Выразите векторы $\overrightarrow{MA}$ и $\overrightarrow{AB}$ через векторы $\vec m=\overrightarrow{KM}$ и $\vec n=\overrightarrow{KP}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 9 класс, C—3, B—1. 1. Начертите два неколлинеарных вектора $\vec a$ и $\vec b$ так, что $|\vec a|=3$ см, $|\vec b|=2$…$ Фото задания

9 класс, C—3, B—1. 1. Начертите два неколлинеарных вектора $\vec a$ и $\vec b$ так, что $|\vec a|=3$ см, $|\vec b|=2$ см. Постройте вектор $\vec p=3\vec a-\frac12\vec b$. 2. В параллелограмме KMNP точка B — середина стороны MN, A — точка на отрезке PN, такая, что PA:AN=2:1. Выразите векторы $\overrightarrow{MA}$ и $\overrightarrow{AB}$ через векторы $\vec m=\overrightarrow{KM}$ и $\vec n=\overrightarrow{KP}$.

Accepted Answer

1. Возьмём, например, $\vec a=(3,0)$ см и $\vec b=(0,2)$ см: они неколлинеарны, а их длины равны 3 см и 2 см.

Умножение вектора на число меняет его длину в соответствующее число раз, а вычитание заменяем сложением противоположного вектора:

\[3\vec a=(9,0)\text{ см},\qquad \frac12\vec b=(0,1)\text{ см},\]

\[\vec p=3\vec a-\frac12\vec b=(9,0)-(0,1)=(9,-1)\text{ см}.\]

Для построения отложите от общего начала вектор $3\vec a$, затем сложите его с вектором, противоположным $\frac12\vec b$. В выбранном примере результирующий вектор имеет компоненты $(9,-1)$ см. При ином допустимом выборе направлений исходных векторов направление результата соответственно изменится.

2. Возьмём точку $K$ за начало отсчёта. Тогда $\overrightarrow{KM}=\vec m$, $\overrightarrow{KP}=\vec n$, а для параллелограмма $\overrightarrow{KN}=\vec m+\vec n$.

Так как $B$ — середина $MN$,

\[\overrightarrow{KB}=\frac{\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KN}}2=\frac{\vec m+(\vec m+\vec n)}2=\vec m+\frac12\vec n.\]

На стороне $PN$ отношение $PA:AN=2:1$, поэтому $A$ делит отрезок от $P$ к $N$ в отношении 2:1:

\[\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{KP}+\frac23\overrightarrow{PN}=\vec n+\frac23\big((\vec m+\vec n)-\vec n\big)=\frac23\vec m+\vec n.\]

Теперь вычтем радиус-векторы концов:

\[\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KM}=\left(\frac23\vec m+\vec n\right)-\vec m=\vec n-\frac13\vec m,\]

\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KA}=\left(\vec m+\frac12\vec n\right)-\left(\frac23\vec m+\vec n\right)=\frac13\vec m-\frac12\vec n.\]

Ответ: $\overrightarrow{MA}=\vec n-\frac13\vec m$, $\overrightarrow{AB}=\frac13\vec m-\frac12\vec n$.