9 класс. Геометрическая прогрессия. Задание 6 из 20: Чему равен третий член геометрической прогрессии, если b₄ = 16, а b₇ = 128? Выберите правильный ответ: 4, 8, 6, 10, 9.

Решение:

В геометрической прогрессии известна формула n-го члена: \( b_n = b_1 · q^{n-1} \), где \( b_1 \) — первый член прогрессии, а \( q \) — её знаменатель.

Используя эту формулу, мы можем выразить данные члены прогрессии:

• \( b_4 = b_1 · q^{4-1} = b_1 · q^3 = 16 \)
• \( b_7 = b_1 · q^{7-1} = b_1 · q^6 = 128 \)

Разделим второе уравнение на первое, чтобы найти знаменатель \( q \):

\( \frac{b_7}{b_4} = \frac{b_1 · q^6}{b_1 · q^3} = \frac{128}{16} \)

\( q^3 = 8 \)

\( q = \sqrt[3]{8} = 2 \)

Теперь, когда мы знаем знаменатель \( q=2 \), мы можем найти первый член прогрессии \( b_1 \) из уравнения для \( b_4 \):

\( b_1 · 2^3 = 16 \)

\( b_1 · 8 = 16 \)

\( b_1 = \frac{16}{8} = 2 \)

Наконец, найдём третий член прогрессии \( b_3 \) по формуле:

\( b_3 = b_1 · q^{3-1} = b_1 · q^2 \)

\( b_3 = 2 · 2^2 = 2 · 4 = 8 \)

Ответ: 8