9 класс. Геометрическая прогрессия. Задание 9 из 20: Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 9; 1; 1/9...

Решение:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это геометрическая прогрессия, у которой знаменатель прогрессии \( q \) удовлетворяет условию \( |q| < 1 \).

В данном случае первый член прогрессии \( b_1 = 9 \).

Знаменатель прогрессии \( q \) можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий:

\[ q = \frac{1}{9} \]или\[ q = \frac{1}{1/9} = \frac{1}{9} \]Поскольку \( |q| = |\frac{1}{9}| < 1 \), прогрессия является бесконечно убывающей.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S_n = \frac{b_1}{1 - q} \]

Подставим значения \( b_1 = 9 \) и \( q = \frac{1}{9} \):

\[ S_n = \frac{9}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{9}{\frac{9}{9} - \frac{1}{9}} = \frac{9}{\frac{8}{9}} \]

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

\[ S_n = 9 \cdot \frac{9}{8} = \frac{81}{8} \]

Ответ: 81/8