9 класс. Геометрическая прогрессия Задание 8 из 20: В геометрической прогрессии b_3 = 64, b_7 = 0,25. Найти b_8. Выберите правильный ответ:

Решение:

В геометрической прогрессии известно, что \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \), где \( b_1 \) — первый член прогрессии, \( q \) — знаменатель прогрессии, \( n \) — номер члена прогрессии.

Нам дано:

• \( b_3 = 64 \)
• \( b_7 = 0.25 \)

Запишем эти члены через \( b_1 \) и \( q \):

• \( b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = 64 \)
• \( b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6 = 0.25 \)

Разделим второе уравнение на первое, чтобы найти \( q \):

\[ \frac{b_1 \cdot q^6}{b_1 \cdot q^2} = \frac{0.25}{64} \]

\[ q^{6-2} = q^4 = \frac{0.25}{64} \]

Чтобы найти \( q \), извлечём корень четвёртой степени:

\[ q = \pm \sqrt[4]{\frac{0.25}{64}} = \pm \sqrt[4]{\frac{1/4}{64}} = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{256}} \]

Так как \( 4^4 = 256 \), то \( q = \pm \frac{1}{4} \) или \( q = \pm 0.25 \).

Теперь найдём \( b_8 \). Для этого нам нужно знать \( b_7 \) и \( q \).

\( b_8 = b_7 \cdot q \)

Возможны два случая:

1. Если \( q = 0.25 \):

\[ b_8 = 0.25 \cdot 0.25 = 0.0625 \]

2. Если \( q = -0.25 \):

\[ b_8 = 0.25 \cdot (-0.25) = -0.0625 \]

Среди предложенных вариантов есть \( -0.0625 \).

Ответ: -0,0625