9 класс «Преобразования плоскости. Параллельный перенос и поворот» І уровень сложности Вариант 1 1. Дан четырехугольник ABCD. Постройте фигуру, симметричную данной: а) относительно вершины D; б) относительно диагонали АС. 2. Докажите, что при движении квадрат отображается на квадрат.

Решение:

Вариант 1

1. Построение симметричной фигуры:
• а) Относительно вершины D: Чтобы построить фигуру, симметричную четырехугольнику ABCD относительно вершины D, нужно каждую вершину четырехугольника (A, B, C) отразить относительно точки D. Это означает, что D является серединой отрезка, соединяющего каждую вершину с ее образом. Например, если A' — образ A, то D — середина AA'.
• б) Относительно диагонали AC: Чтобы построить фигуру, симметричную четырехугольнику ABCD относительно диагонали AC, нужно каждую вершину (B и D) отразить относительно прямой AC. Образ вершины B будет B', а образ вершины D — D'. Точки A и C останутся на месте, так как они лежат на оси симметрии.
2. Доказательство: Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба. При любом движении (переносе, повороте, осевой симметрии) сохраняются длины сторон и величины углов. Квадрат имеет равные стороны и прямые углы. Следовательно, при движении он отображается на такую же фигуру с равными сторонами и прямыми углами, то есть на квадрат.

Ответ: Построены фигуры, симметричные четырехугольнику ABCD относительно точки D и прямой AC. Доказано, что квадрат при движении отображается на квадрат.