9. Квадратный трёхчлен разложен на множители: x² - x - 42 = (x + a)(x - 7). Найдите а.

Решение:

Дано квадратное уравнение: \( x^2 - x - 42 = (x + a)(x - 7) \).

Раскроем скобки в правой части уравнения:

\( (x + a)(x - 7) = x \cdot x + x \cdot (-7) + a \cdot x + a \cdot (-7) \)

\( = x^2 - 7x + ax - 7a \)

\( = x^2 + (a - 7)x - 7a \)

Теперь приравняем коэффициенты исходного уравнения и полученного:

\( x^2 - x - 42 = x^2 + (a - 7)x - 7a \)

Приравнивая коэффициенты при \( x \), получаем:

\( -1 = a - 7 \)

\( a = -1 + 7 \)

\( a = 6 \)

Приравнивая свободные члены, получаем:

\( -42 = -7a \)

\( a = \frac{-42}{-7} \)

\( a = 6 \)

Оба условия дают одинаковое значение \( a \).

Ответ: 6