9. Лабораторный прибор регистрирует электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = U₀ sin(ωt + φ), где t — время в секундах, амплитуда напряжения U₀ = 6 В, частота ω = 4π/3, а начальная фаза φ = π/12. Прибор устроен так, что если напряжение U в нём не ниже 3 В, загорается сигнальный светодиод. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы прибора светодиод будет гореть?

Дано:

Закон изменения напряжения: U = U₀ sin(ωt + φ)

U₀ = 6 В

ω = 4π/3 рад/с

φ = π/12 рад

Условие загорания светодиода: U ≥ 3 В

Время наблюдения: t от 0 до 1 с

Найти:

Часть времени (в процентах), когда светодиод горит.

Решение:

Подставим данные в закон изменения напряжения:

U(t) = 6 sin( (4π/3)t + π/12 )

Найдем время, когда светодиод загорается, то есть когда U(t) ≥ 3 В:

6 sin( (4π/3)t + π/12 ) ≥ 3

sin( (4π/3)t + π/12 ) ≥ 1/2

Решим неравенство sin(x) ≥ 1/2.

Основные значения, где sin(x) = 1/2, это x = π/6 и x = 5π/6.

Следовательно, неравенство sin(x) ≥ 1/2 выполняется, когда:

π/6 + 2πn ≤ x ≤ 5π/6 + 2πn, где n — целое число.

Подставим x = (4π/3)t + π/12:

π/6 + 2πn ≤ (4π/3)t + π/12 ≤ 5π/6 + 2πn

Вычтем π/12 из всех частей неравенства:

π/6 - π/12 + 2πn ≤ (4π/3)t ≤ 5π/6 - π/12 + 2πn

π/12 + 2πn ≤ (4π/3)t ≤ 9π/12 + 2πn

π/12 + 2πn ≤ (4π/3)t ≤ 3π/4 + 2πn

Разделим все части на 4π/3:

(π/12) / (4π/3) + (2πn) / (4π/3) ≤ t ≤ (3π/4) / (4π/3) + (2πn) / (4π/3)

(π/12) * (3/4π) + 2πn * (3/4π) ≤ t ≤ (3π/4) * (3/4π) + 2πn * (3/4π)

1/16 + 3n/2 ≤ t ≤ 9/16 + 3n/2

Нам нужно найти время в течение первой секунды, то есть 0 ≤ t ≤ 1.

Рассмотрим случаи для n:

• При n = 0:



1/16 ≤ t ≤ 9/16




В этом интервале t находится в пределах от 0 до 1. Продолжительность этого интервала: 9/16 - 1/16 = 8/16 = 1/2 секунды.




• При n = 1:



1/16 + 3/2 ≤ t ≤ 9/16 + 3/2




33/16 ≤ t ≤ 57/16. Этот интервал выходит за пределы 0 ≤ t ≤ 1.




• При n = -1:



1/16 - 3/2 ≤ t ≤ 9/16 - 3/2




-23/16 ≤ t ≤ -9/16. Этот интервал также выходит за пределы 0 ≤ t ≤ 1.

Таким образом, в течение первой секунды светодиод горит в интервале [1/16, 9/16]. Общая продолжительность горения светодиода за первую секунду равна 1/2 секунды.

Чтобы найти, какую часть времени это составляет в процентах, разделим продолжительность горения на общее время наблюдения (1 секунда) и умножим на 100%:

(1/2 с / 1 с) * 100% = 0.5 * 100% = 50%

Ответ: 50%