9. M, N, E, F, K — произвольные точки. Доказать, что \(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{EK}+\overrightarrow{NF}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{NE}\).

Обозначим радиус-векторы точек M, N, E, F, K соответственно через \(\vec m,\vec n,\vec e,\vec f,\vec k\).

Тогда:

\[\overrightarrow{ME}=\vec e-\vec m,\quad \overrightarrow{KN}=\vec n-\vec k,\quad \overrightarrow{EK}=\vec k-\vec e,\quad \overrightarrow{NF}=\vec f-\vec n.\]

Сложим векторы левой части:

\[\begin{aligned}(\vec e-\vec m)+(\vec n-\vec k)+(\vec k-\vec e)+(\vec f-\vec n)&=\vec f-\vec m\\&=\overrightarrow{MF}.\end{aligned}\]

Преобразуем правую часть:

\[\begin{aligned}\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{NE}&=(\vec n-\vec m)+(\vec f-\vec e)+(\vec e-\vec n)\\&=\vec f-\vec m\\&=\overrightarrow{MF}.\end{aligned}\]

Обе части равны одному и тому же вектору \(\overrightarrow{MF}\). Следовательно, исходное равенство доказано.

Ответ: равенство верно.