9. MN - ?

Решение:

В данном случае MN является касательной к окружности, проведенной из точки K. Мы знаем, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, OM ⊥ MN и ON ⊥ MN. Однако, на чертеже видно, что M и N — точки касания, а O — центр окружности. Треугольник OKM и OKN являются прямоугольными, так как радиус (OM и ON) перпендикулярен касательной (MK и NK) в точке касания.

В треугольнике OKM:

• Угол OMK = 90°
• Угол MKO = 30°
• KM = 15

Мы можем использовать тригонометрию в прямоугольном треугольнике OKM:

• tg(30°) = OM / KM
• OM = KM * tg(30°) = 15 * (1/√3) = 15√3 / 3 = 5√3

Аналогично, в треугольнике OKN:

• Угол ONK = 90°
• Угол NKO = 30°
• KN = 15
• ON = OM = 5√3

Так как MK и NK — отрезки касательных, проведенных из одной точки K, то MK = NK = 15.

MN — это хорда, соединяющая точки касания.

Рассмотрим треугольник KMN. Он равнобедренный (KM=KN=15). Угол MKN = 2 * 30° = 60°.

Так как треугольник KMN равнобедренный и угол при вершине равен 60°, то он является равносторонним.

Следовательно, MN = KM = KN = 15.

Ответ: 15