9. На каком расстоянии от центра Земли, выраженном в земных радиусах, силы притяжения космического корабля к Земле и Луне уравновешивают друг друга? Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а расстояние между их центрами в 60 раз больше радиуса Земли. (Rз — радиус Земли).

Решение:

Задача сводится к нахождению точки Лагранжа L1 между Землёй и Луной, где гравитационные силы уравновешиваются. Обозначим:

• Mз — масса Земли
• Мл — масса Луны
• Rз — радиус Земли
• r — расстояние от Земли до Луны (r = 60Rз)
• x — искомое расстояние от Земли до корабля

Условие:

• Мл = Mз / 81
• r = 60Rз

В точке уравновешивания сил притяжения:

G * Mз * m / x² = G * Мл * m / (r - x)²

где G — гравитационная постоянная, m — масса корабля.

Сокращаем G и m:

Mз / x² = Мл / (r - x)²

Подставляем Мл = Mз / 81:

Mз / x² = (Mз / 81) / (r - x)²

Сокращаем Mз:

1 / x² = 1 / (81 * (r - x)²)

x² = 81 * (r - x)²

Извлекаем квадратный корень:

x = 9 * (r - x)

x = 9r - 9x

10x = 9r

x = 0.9r

Теперь подставим значение r = 60Rз:

x = 0.9 * 60Rз = 54Rз

Ответ: 54Rз