9. На плоскости отметили несколько точек и попарно соединили их отрезками. Провели прямую, которая не проходит ни через одну из этих точек. Оказалось, что она пересекла ровно 21 отрезок. Сколько отрезков не пересекла эта прямая?

Пусть отмечено n точек. Каждая точка соединена отрезками с остальными, поэтому всего отрезков \(\frac{n(n-1)}{2}\).

Так как прямая не проходит через отмеченные точки, она пересекает отрезок между двумя точками тогда и только тогда, когда эти точки лежат по разные стороны прямой. Если по одну сторону находятся \(a\) точек, то по другую — \(n-a\), и число пересечённых отрезков равно \(a(n-a)=21\).

Из разложений 21 на множители получаем пары \((a,n-a)=(1,21)\) или \((3,7)\). Возможны два случая:

1. Всего \(22\) точки: отрезков \(\frac{22\cdot21}{2}=231\), не пересечено \(231-21=210\).
2. Всего \(10\) точек: отрезков \(\frac{10\cdot9}{2}=45\), не пересечено \(45-21=24\).

Условие не определяет число точек однозначно, поэтому возможны оба ответа.

Ответ: 210 или 24 отрезка.