9. На рисунке трапеция ABCD, точки M и N — середины боковых сторон AD и CB. KE ⟂ AB, AE = 2, EB = 5. Найдите MN и DC.

Так как M и N — середины боковых сторон трапеции, MN — её средняя линия, поэтому она параллельна основаниям и равна полусумме оснований.

Из рисунка KE ⟂ AB и MN ∥ AB, значит KE ⟂ MN. Четырёхугольник DKEA — прямоугольник, поэтому DK = AE = 2.

Поскольку M — середина AD, а прямая MN пересекает DK в точке K, точка K — середина DK. Следовательно, DK = 2 · AE = 4.

Так как MN — средняя линия трапеции, её пересечение с отрезком DK находится на половине высоты. Поэтому расстояние между MN и AB равно половине DK: оно составляет 2. В прямоугольнике KEA это расстояние равно AE, следовательно, AE = 2, как и указано на рисунке. Из данных можно найти основания: AB = AE + EB = 7, но длина верхнего основания DC не задана.

В изображении не хватает дополнительного условия для определения DC и MN. Одних данных AE = 2, EB = 5 и отметок середин недостаточно: длина MN зависит от DC.

Ответ: MN и DC однозначно определить нельзя; не хватает длины одного из оснований или другого условия, связывающего основания.