9. На сторонах DF и EF треугольника DEF отмечены такие точки P и K соответственно, что DP : PF = 1 : 4, EK : KF = 4 : 3. Выразите векторы EF, FD, DE, KD и PE через векторы DP = m и FK = n.

Question

Вопрос:

Фото задания: 9. На сторонах DF и EF треугольника DEF отмечены такие точки P и K соответственно, что DP : PF = 1 : 4, EK : KF = 4 : 3.…

9. На сторонах DF и EF треугольника DEF отмечены такие точки P и K соответственно, что DP : PF = 1 : 4, EK : KF = 4 : 3. Выразите векторы EF, FD, DE, KD и PE через векторы DP = m и FK = n.

Accepted Answer

Так как точки D, P, F лежат на одной стороне и DP : PF = 1 : 4, то \(\overrightarrow{DF}=5\overrightarrow{DP}=5\mathbf m\). Следовательно, \(\overrightarrow{FD}=-5\mathbf m\).

Из отношения EK : KF = 4 : 3 следует, что \(\overrightarrow{EF}=\frac{7}{3}\overrightarrow{FK}=\frac{7}{3}\mathbf n\).

По правилу сложения векторов:

\(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FE}=5\mathbf m-\frac{7}{3}\mathbf n\).

Поскольку \(\overrightarrow{FK}=\mathbf n\), получаем \(\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FK}=5\mathbf m+\mathbf n\), поэтому \(\overrightarrow{KD}=-5\mathbf m-\mathbf n\).

Так как \(\overrightarrow{DP}=\mathbf m\), то \(\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DE}=-\mathbf m+5\mathbf m-\frac{7}{3}\mathbf n=4\mathbf m-\frac{7}{3}\mathbf n\).

Ответ: \(\overrightarrow{EF}=\frac{7}{3}\mathbf n;\quad \overrightarrow{FD}=-5\mathbf m;\quad \overrightarrow{DE}=5\mathbf m-\frac{7}{3}\mathbf n;\quad \overrightarrow{KD}=-5\mathbf m-\mathbf n;\quad \overrightarrow{PE}=4\mathbf m-\frac{7}{3}\mathbf n.\)