9. Начертите тупоугольный треугольник ABC (∠C тупой). Постройте остроугольный треугольник с основанием AC и имеющий высоту, опущенную на сторону AC, равную высоте данного треугольника, опущенной на прямую, содержащую их общую сторону.

1. Построение тупоугольного треугольника ABC:

Начертим треугольник ABC, где угол при вершине C будет тупым (больше 90°).

Начертим сторону AC. Высота, опущенная из вершины B на прямую, содержащую сторону AC, будет лежать вне треугольника.

2. Обозначение высоты тупоугольного треугольника:

Пусть h₁ — высота тупоугольного треугольника ABC, опущенная из вершины B на прямую AC. Эта высота равна длине отрезка BH, где H — точка на прямой AC, и BH ⊥ AC.

3. Построение остроугольного треугольника:

Нам нужно построить остроугольный треугольник с основанием AC. Обозначим его как ADC (чтобы не путать вершины).

Этот треугольник должен иметь высоту, опущенную на основание AC, равную h₁.

Высота остроугольного треугольника ADC, опущенная из вершины D на основание AC, будет проходить внутри треугольника.

4. Условие:

• Основание остроугольного треугольника — AC (такое же, как у тупоугольного).
• Высота остроугольного треугольника (h₂) равна высоте тупоугольного треугольника (h₁).
• Треугольник ADC должен быть остроугольным (все углы < 90°).

5. Построение:

Проведем прямую, параллельную AC, на расстоянии h₁ от AC. Любая точка на этой прямой, если она не лежит на продолжении AC, может быть вершиной D остроугольного треугольника.

Чтобы треугольник ADC был остроугольным, вершина D должна быть выбрана так, чтобы углы при A и C были острыми.

Начертим прямую 'l', параллельную AC, на расстоянии h₁ от AC. Для этого от точек A и C проведем перпендикуляры вверх и отложим на них отрезок длиной h₁.

Через концы этих отрезков проведем прямую 'l'.

Выбираем точку D на прямой 'l' так, чтобы треугольник ADC был остроугольным. Это значит, что углы при A и C должны быть меньше 90°. Можно выбрать D так, чтобы оно было между перпендикулярами, опущенными из A и C на прямую 'l', или немного дальше, но достаточно близко, чтобы углы остались острыми.

Пример построения:

1. Начертить тупоугольный треугольник ABC с тупым углом C.
2. Измерить высоту h₁ из вершины B на прямую AC.
3. Начертить основание AC.
4. Из точек A и C провести перпендикуляры вверх (или вниз, в зависимости от расположения).
5. Отложить на этих перпендикулярах отрезки длиной h₁.
6. Через концы этих отрезков провести прямую 'l', параллельную AC.
7. Выбрать точку D на прямой 'l' так, чтобы углы CAD и ACD были острыми. Например, выбрать D так, чтобы проекция AD была меньше AC, и CD была меньше AC.
8. Соединить точки A, D, C. Получится остроугольный треугольник ADC с основанием AC и высотой h₂ = h₁ (высотой AD).