9. Натуральное число обладает тремя свойствами: 1) это число делится на 18; 2) это число меньше, чем 4000; 3) в этом числе третья цифра на 3 больше второй, а четвёртая цифра на 3 больше третьей. Найдите это число.

Question

Вопрос:

Фото задания

9. Натуральное число обладает тремя свойствами: 1) это число делится на 18; 2) это число меньше, чем 4000; 3) в этом числе третья цифра на 3 больше второй, а четвёртая цифра на 3 больше третьей. Найдите это число.

Accepted Answer

Решение:

Обозначим искомое число как \( N \). Число натуральное, поэтому оно положительное целое.

Число делится на 18. Это значит, что число делится и на 2 (чётное), и на 9 (сумма цифр делится на 9).
Число меньше, чем 4000. Это означает, что число может быть трёхзначным или четырёхзначным (начинаться с 1, 2 или 3).
Отношения между цифрами. Пусть число имеет вид \( abcd \), где \( a \) — первая цифра, \( b \) — вторая, \( c \) — третья, \( d \) — четвёртая.

Из условия 3:

\( c = b + 3 \)
\( d = c + 3 = (b + 3) + 3 = b + 6 \)

Так как \( b, c, d \) — это цифры (от 0 до 9), то:

\( b \) может быть от 0 до 3 (иначе \( d \) будет больше 9).
Если \( b = 0 \), то \( c = 3 \), \( d = 6 \). Цифры: \( 036 \).
Если \( b = 1 \), то \( c = 4 \), \( d = 7 \). Цифры: \( 147 \).
Если \( b = 2 \), то \( c = 5 \), \( d = 8 \). Цифры: \( 258 \).
Если \( b = 3 \), то \( c = 6 \), \( d = 9 \). Цифры: \( 369 \).

Теперь рассмотрим условие 2: число меньше 4000.

Число может быть четырёхзначным \( abcd \) или трёхзначным \( abc \) (в этом случае \( d = 0 \)).

Случай 1: Число четырёхзначное.

Цифра \( a \) может быть 1, 2 или 3.

Вариант 1: Цифры \( bcd = 036 \).
Возможные числа: \( 1036, 2036, 3036 \).
Вариант 2: Цифры \( bcd = 147 \).
Возможные числа: \( 1147, 2147, 3147 \).
Вариант 3: Цифры \( bcd = 258 \).
Возможные числа: \( 1258, 2258, 3258 \).
Вариант 4: Цифры \( bcd = 369 \).
Возможные числа: \( 1369, 2369, 3369 \).

Случай 2: Число трёхзначное.

В этом случае \( d = 0 \). Тогда \( c = b + 3 \) и \( 0 = c + 3 \) => \( c = -3 \), что невозможно. Значит, число не может быть трёхзначным, если третья цифра на 3 больше второй, а четвёртая на 3 больше третьей.

Теперь применим условие 1: число делится на 18 (на 2 и на 9).

Проверим чётность (делимость на 2). Число должно оканчиваться на чётную цифру (0, 2, 4, 6, 8). В нашем случае последняя цифра \( d \) равна \( b + 6 \).

Если \( b=0 \), \( d=6 \) (чётное).
Если \( b=1 \), \( d=7 \) (нечётное).
Если \( b=2 \), \( d=8 \) (чётное).
Если \( b=3 \), \( d=9 \) (нечётное).

Таким образом, нам подходят числа, где \( b = 0 \) (цифры \( 036 \)) или \( b = 2 \) (цифры \( 258 \)).

Варианты для проверки:

Цифры \( bcd = 036 \): \( 1036, 2036, 3036 \).
Цифры \( bcd = 258 \): \( 1258, 2258, 3258 \).

Теперь проверим делимость на 9 (сумма цифр делится на 9).

Число 1036: Сумма цифр \( 1+0+3+6 = 10 \) (не делится на 9).
Число 2036: Сумма цифр \( 2+0+3+6 = 11 \) (не делится на 9).
Число 3036: Сумма цифр \( 3+0+3+6 = 12 \) (не делится на 9).
Число 1258: Сумма цифр \( 1+2+5+8 = 16 \) (не делится на 9).
Число 2258: Сумма цифр \( 2+2+5+8 = 17 \) (не делится на 9).
Число 3258: Сумма цифр \( 3+2+5+8 = 18 \) (делится на 9).

Число 3258 делится на 2 (чётное) и на 9 (сумма цифр 18). Оно меньше 4000. Третья цифра (5) на 3 больше второй (2), а четвёртая цифра (8) на 3 больше третьей (5).

Проверим все условия для числа 3258:

Делится на 18: \( 3258 / 18 = 181 \) (да).
Меньше 4000: \( 3258 < 4000 \) (да).
Цифры: \( a=3, b=2, c=5, d=8 \). \( c = b + 3 \) => \( 5 = 2 + 3 \) (да). \( d = c + 3 \) => \( 8 = 5 + 3 \) (да).

Ответ: 3258.