9. Найдите корень уравнения (x - 5)^2 = (x - 8)^2.

Задание 9. Решение уравнения

Нужно найти корень уравнения \( (x-5)^2 = (x-8)^2 \).

Есть несколько способов решить это уравнение:

Способ 1: Раскрытие скобок

1. Раскроем квадраты в обеих частях уравнения:
• \( (x-5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25 \)
• \( (x-8)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 - 16x + 64 \)
2. Приравняем полученные выражения: \( x^2 - 10x + 25 = x^2 - 16x + 64 \).
3. Вычтем \( x^2 \) из обеих частей уравнения: \( -10x + 25 = -16x + 64 \).
4. Перенесем члены с \( x \) в левую часть, а числа — в правую: \( -10x + 16x = 64 - 25 \).
5. Упростим: \( 6x = 39 \).
6. Найдем \( x \), разделив обе части на 6: \( x = \frac{39}{6} = \frac{13}{2} = 6.5 \).

Способ 2: Использование разности квадратов

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить разность квадратов:

1. \( (x-5)^2 - (x-8)^2 = 0 \).
2. Используем формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = (x-5) \) и \( b = (x-8) \).
3. \( ((x-5) - (x-8))((x-5) + (x-8)) = 0 \).
4. Упростим выражения в каждой скобке:
• Первая скобка: \( (x-5) - (x-8) = x - 5 - x + 8 = 3 \).
• Вторая скобка: \( (x-5) + (x-8) = x - 5 + x - 8 = 2x - 13 \).
5. Теперь уравнение выглядит так: \( 3 \cdot (2x - 13) = 0 \).
6. Так как 3 не равно 0, то вторая скобка должна быть равна 0: \( 2x - 13 = 0 \).
7. Решим полученное линейное уравнение: \( 2x = 13 \).
8. \( x = \frac{13}{2} = 6.5 \).

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 6.5