9. Найдите производную функции f(x) = \(\sqrt{3x^2+11}\)

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \sqrt{3x^2+11} \), используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть \( u = 3x^2+11 \). Тогда \( f(x) = \sqrt{u} \).

1. Производная \( \sqrt{u} \) по \( u \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{u}} \).
2. Производная \( u = 3x^2+11 \) по \( x \) равна \( 6x \) (производная \( 3x^2 \) равна \( 6x \), производная \( 11 \) равна \( 0 \)).
3. По правилу дифференцирования сложной функции, \( f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} \).
4. Подставляем найденные производные: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x^2+11}} \cdot 6x \]
5. Упрощаем выражение: \[ f'(x) = \frac{6x}{2\sqrt{3x^2+11}} = \frac{3x}{\sqrt{3x^2+11}} \]

Ответ: \( f'(x) = \frac{3x}{\sqrt{3x^2+11}} \).