9. Найдите среднее арифметическое корней уравнения (x-3)√x²+5x+4= 2x-6.

Решение:

Для решения уравнения \( (x-3)\sqrt{x^2+5x+4} = 2x-6 \), сначала рассмотрим условия существования корня и неотрицательность правой части.

1. Условие неотрицательности правой части: \( 2x-6 \ge 0 \), откуда \( 2x \ge 6 \), то есть \( x \ge 3 \).
2. Условие подкоренного выражения: \( x^2+5x+4 \ge 0 \). Корни уравнения \( x^2+5x+4 = 0 \) равны \( x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2} \), то есть \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -4 \). Таким образом, \( x^2+5x+4 \ge 0 \) при \( x \le -4 \) или \( x \ge -1 \).
3. Учитывая оба условия \( x \ge 3 \) и \( (x \le -4) \cup (x \ge -1) \), получаем, что \( x \ge 3 \).
4. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (x-3)^2 (x^2+5x+4) = (2x-6)^2 \).
5. Раскроем скобки: \( (x^2-6x+9)(x^2+5x+4) = 4x^2-24x+36 \).
6. Упростим, разделив обе части на \( (x-3)^2 \), если \( x \neq 3 \): \( x^2+5x+4 = \frac{(2(x-3))^2}{(x-3)^2} = 4 \).
7. Теперь решим уравнение \( x^2+5x+4 = 4 \): \( x^2+5x = 0 \) \( x(x+5) = 0 \).
8. Корни этого уравнения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -5 \).
9. Проверим эти корни с условием \( x \ge 3 \). Оба корня \( 0 \) и \( -5 \) не удовлетворяют этому условию.
10. Рассмотрим случай \( x = 3 \): \( (3-3)\sqrt{3^2+5(3)+4} = 2(3)-6 \) \( 0 · \sqrt{9+15+4} = 6-6 \) \( 0 = 0 \).
11. Таким образом, \( x=3 \) является корнем уравнения.
12. В этом случае, когда \( x=3 \), мы не могли делить на \( (x-3)^2 \).
13. Значит, единственный корень уравнения — \( x = 3 \).
14. Среднее арифметическое корней, если корень один, равно самому этому корню.

Ответ: 3.