9. Найдите три целочисленных решения уравнения: a) 5x - 2y = 3; б) 1/2x + 1/3y = -5/6; в) 7x + 4y = 0; г) 1 1/2x + 1 1/3y = 1.

Найдем целочисленные решения для каждого уравнения:

а) 5x - 2y = 3

Это линейное диофантово уравнение. Мы можем найти одно частное решение, а затем общее решение.

Если x = 1, то 5(1) - 2y = 3 => 5 - 2y = 3 => -2y = -2 => y = 1. Одно из решений: (1, 1).

Общее решение: x = 1 + 2t, y = 1 + 5t, где t - любое целое число.

Три целочисленных решения:

• t = 0: x = 1, y = 1
• t = 1: x = 3, y = 6
• t = -1: x = -1, y = -4

в) 7x + 4y = 0

Можно переписать как 7x = -4y. Поскольку 7 и 4 взаимно просты, x должно быть кратно 4, а y кратно 7.

Пусть x = 4k. Тогда 7(4k) = -4y => 28k = -4y => y = -7k, где k - любое целое число.

Три целочисленных решения:

• k = 0: x = 0, y = 0
• k = 1: x = 4, y = -7
• k = -1: x = -4, y = 7

б) \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = -\frac{5}{6}\)

Умножим все на 6, чтобы избавиться от дробей: 3x + 2y = -5.

Это снова линейное диофантово уравнение. Если x = -1, то 3(-1) + 2y = -5 => -3 + 2y = -5 => 2y = -2 => y = -1. Одно из решений: (-1, -1).

Общее решение: x = -1 + 2t, y = -1 - 3t, где t - любое целое число.

Три целочисленных решения:

• t = 0: x = -1, y = -1
• t = 1: x = 1, y = -4
• t = -1: x = -3, y = 2

г) \(1\frac{1}{2}x + 1\frac{1}{3}y = 1\)

Перепишем смешанные дроби: \(\frac{3}{2}x + \frac{4}{3}y = 1\).

Умножим все на 6: 9x + 8y = 6.

Это линейное диофантово уравнение. Если x = 2, то 9(2) + 8y = 6 => 18 + 8y = 6 => 8y = -12 => y = -12/8, не целое.

Если x = -2, то 9(-2) + 8y = 6 => -18 + 8y = 6 => 8y = 24 => y = 3. Одно из решений: (-2, 3).

Общее решение: x = -2 + 8t, y = 3 - 9t, где t - любое целое число.

Три целочисленных решения:

• t = 0: x = -2, y = 3
• t = 1: x = 6, y = -6
• t = -1: x = -10, y = 12