9. Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt[3]{7+4\sqrt{3}}}{\sqrt[3]{ \sqrt{3}}-2}+\sqrt{3}$$.

Question

Вопрос:

9. Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt[3]{7+4\sqrt{3}}}{\sqrt[3]{ \sqrt{3}}-2}+\sqrt{3}$$.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Чтобы найти значение выражения, преобразуем числитель и знаменатель под корнем.

Рассмотрим куб суммы: $ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $. Попытаемся представить $ 7+4\sqrt{3} $ в виде куба.

Заметим, что $ (2+\sqrt{3})^3 = 2^3 + 3\cdot2^2\cdot\sqrt{3} + 3\cdot2\cdot(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = 8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3} = 26 + 15\sqrt{3} $. Это не подходит.

Попробуем найти такие $ a $ и $ b $, чтобы $ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = 7+4\sqrt{3} $.

Рассмотрим $ (1+\sqrt{3})^3 = 1^3 + 3\cdot1^2\cdot\sqrt{3} + 3\cdot1\cdot(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = 1 + 3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3} = 10+6\sqrt{3} $. Тоже не подходит.

Давайте попробуем упростить выражение $ \sqrt[3]{7+4\sqrt{3}} $. Возможно, $ 7+4\sqrt{3} $ является кубом выражения вида $ a+b\sqrt{3} $.

Рассмотрим $ (1+x)^3 = 1+3x+3x^2+x^3 $.

Пусть $ x = k\sqrt{3} $. Тогда $ (1+k\sqrt{3})^3 = 1 + 3k\sqrt{3} + 3(k\sqrt{3})^2 + (k\sqrt{3})^3 = 1 + 3k\sqrt{3} + 9k^2 + 3k^3\sqrt{3} = (1+9k^2) + (3k+3k^3)\sqrt{3} $.

Приравниваем к $ 7+4\sqrt{3} $.

$ 1+9k^2 = 7 \implies 9k^2 = 6 \implies k^2 = 6/9 = 2/3 $. Это не дает рационального $ k $.

Попробуем другое представление. Рассмотрим $ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^3 $.

Попробуем подобрать куб для числителя. Заметим, что $ (2+\sqrt{3})^3 = 26 + 15\sqrt{3} $.

Рассмотрим $ (1+\sqrt{3})^3 = 1 + 3\sqrt{3} + 3(3) + 3\sqrt{3} = 10+6\sqrt{3} $.

Заметим, что $ 7+4\sqrt{3} = 7+2\sqrt{12} $. Это не помогает.

Попробуем преобразовать знаменатель: $ \sqrt[3]{3}-2 $.

Рассмотрим куб разности: $ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $.

Попробуем разложить $ 7+4\sqrt{3} $ на множители.

Заметим, что $ 7+4\sqrt{3} = 1+6+2\cdot2\cdot\sqrt{3} = 1 + 3\cdot2\cdot\sqrt{3} + 3\cdot2^2\cdot1? $

Попробуем представить $ 7+4\sqrt{3} $ как $ (a+b)^3 $.

Заметим, что $ (\sqrt{3}+1)^3 = (\sqrt{3})^3 + 3(\sqrt{3})^2(1) + 3(\sqrt{3})(1)^2 + 1^3 = 3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3} + 1 = 10 + 6\sqrt{3} $.

Попробуем $ (2+\sqrt{3})^3 = 8 + 3(4)\sqrt{3} + 3(2)(3) + 3\sqrt{3} = 8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3} = 26+15\sqrt{3} $.

Есть такое тождество: $ (\sqrt{3}+1)^3 = 10+6\sqrt{3} $.

Рассмотрим $ (\sqrt{3}+2)^3 = (\sqrt{3})^3 + 3(\sqrt{3})^2(2) + 3(\sqrt{3})(2)^2 + 2^3 = 3\sqrt{3} + 18 + 12\sqrt{3} + 8 = 26+15\sqrt{3} $.

Может быть, $ 7+4\sqrt{3} $ можно представить как $ (a+b)^3 $ где $ b $ содержит $ \sqrt{3} $.

Рассмотрим $ (2+\sqrt{3})^3 = 8+12\sqrt{3}+18+3\sqrt{3} = 26+15\sqrt{3} $.

Рассмотрим $ (1+\sqrt{3})^3 = 1+3\sqrt{3}+9+3\sqrt{3} = 10+6\sqrt{3} $.

Попробуем представить $ 7+4\sqrt{3} $ в виде $ (a+b\sqrt{3})^3 $.

Если $ a=1, b=1 $, то $ (1+\sqrt{3})^3 = 10+6\sqrt{3} $.

Если $ a=2, b=1 $, то $ (2+\sqrt{3})^3 = 26+15\sqrt{3} $.

Заметим, что $ 7+4\sqrt{3} = 7+2\sqrt{12} $. Ищем $ x, y $ такие, что $ x+y=7 $ и $ 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{12} $ $ \implies xy=12 $. Решая систему $ x+y=7, xy=12 $, получаем $ x=3, y=4 $ или $ x=4, y=3 $. Тогда $ 7+4\sqrt{3} = 7+2\sqrt{12} = (\sqrt{4}+\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2 $.

Поэтому, $ \sqrt[3]{7+4\sqrt{3}} $ не является целым кубом.

Вернемся к знаменателю: $ \sqrt[3]{3}-2 $. Возведем в куб: $ (\sqrt{3}-2)^3 = (\sqrt{3})^3 - 3(\sqrt{3})^2(2) + 3(\sqrt{3})(2)^2 - 2^3 = 3\sqrt{3} - 18 + 12\sqrt{3} - 8 = 15\sqrt{3} - 26 $.

Посмотрим на числитель: $ \sqrt[3]{7+4\sqrt{3}} $.

Заметим, что $ (2+\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7+4\sqrt{3} $.

Тогда $ \sqrt[3]{7+4\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(2+\sqrt{3})^2} $.

Рассмотрим выражение: $ \frac{\sqrt[3]{(2+\sqrt{3})^2}}{\sqrt[3]{3}-2} + \sqrt{3} $.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (2+\sqrt{3}) $:

$ \frac{\sqrt[3]{(2+\sqrt{3})^2} \cdot (2+\sqrt{3})}{(\sqrt{3}-2) \cdot (2+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt[3]{(2+\sqrt{3})^3}}{2\sqrt{3}+3-4-2\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{-1} = -(2+\sqrt{3}) = -2-\sqrt{3} $.

Таким образом, выражение принимает вид:

$ -2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = -2 $.

Упростим числитель: $ 7+4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2 $.
Подставим в выражение: $ \frac{\sqrt[3]{(2+\sqrt{3})^2}}{\sqrt[3]{3}-2} + \sqrt{3} $.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (2+\sqrt{3}) $ для приведения к кубу в числителе:

\[ \frac{\sqrt[3]{(2+\sqrt{3})^2} \cdot (2+\sqrt{3})}{(\sqrt{3}-2) \cdot (2+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt[3]{(2+\sqrt{3})^3}}{2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 - 4 - 2\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{3-4} = \frac{2+\sqrt{3}}{-1} = -2-\sqrt{3} \].

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\[ (-2-\sqrt{3}) + \sqrt{3} = -2 \].

Ответ: -2.