9. Найти: \(\angle\) AFD.

Решение:

На рисунке изображён треугольник ACF. Точка D лежит на стороне CF. Известно, что \( \angle ABD = 90^{\circ} \) и \( \angle DBC = 55^{\circ} \). Также отмечено, что \( AB = AD \) и \( BC = CD \).

Так как \( AB = AD \), то треугольник ABD — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle ABD = \angle ADB \). Но \( \angle ABD = 90^{\circ} \), поэтому \( \angle ADB = 90^{\circ} \).

Так как \( BC = CD \), то треугольник BCD — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle CBD = \angle CDB \). По условию \( \angle DBC = 55^{\circ} \), значит \( \angle CDB = 55^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник ACF. Мы знаем, что \( \angle ADB = 90^{\circ} \) и \( \angle CDB = 55^{\circ} \). Угол \( \angle ADC \) — это развернутый угол, который равен \( 180^{\circ} \). Однако, D лежит на CF, поэтому \( \angle ADC \) — это сумма углов \( \angle ADB \) и \( \angle CDB \) если B лежит на перпендикуляре к CF, что не так.

Проверим условие: \( AB = AD \) и \( BC = CD \). Это означает, что точка D является центром окружности, проходящей через точки A, B, C. Но это не так, так как \( AB \neq BC \).

Рассмотрим треугольник ABC. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 90^{\circ} + 55^{\circ} = 145^{\circ} \).

В треугольнике ABD, \( \angle BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle BDA \). Так как \( AB = AD \), то \( \angle ABD = \angle ADB = 90^{\circ} \) - это невозможно, так как сумма углов в треугольнике будет 180, а у нас уже 90+90=180.

Из условия \( AB = AD \) следует, что \( \triangle ABD \) — равнобедренный. Углы при основании \( BD \) равны. \( \angle ABD = 90^{\circ} \) - это угол при вершине B. Значит, \( \angle BAD = \angle BDA = (180^{\circ} - 90^{\circ}) / 2 = 45^{\circ} \).

Из условия \( BC = CD \) следует, что \( \triangle BCD \) — равнобедренный. Углы при основании \( BD \) равны. \( \angle CBD = 55^{\circ} \) - это угол при вершине B. Значит, \( \angle BDC = \angle BCD = (180^{\circ} - 55^{\circ}) / 2 = 125^{\circ} / 2 = 62.5^{\circ} \).

Теперь посмотрим на \( \angle ADC \). Угол \( \angle ADB = 45^{\circ} \). Угол \( \angle CDB = 62.5^{\circ} \). Точка D лежит на отрезке CF. Следовательно, \( \angle ADC = \angle ADB + \angle CDB = 45^{\circ} + 62.5^{\circ} = 107.5^{\circ} \).

В треугольнике ACF, \( \angle CAF = \angle BAD = 45^{\circ} \) и \( \angle ACF = \angle BCD = 62.5^{\circ} \).

Сумма углов в \( \triangle ACF \) равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle AFD = 180^{\circ} - \angle CAF - \angle ACF = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 62.5^{\circ} = 180^{\circ} - 107.5^{\circ} = 72.5^{\circ} \).

Ответ: \( \angle AFD = 72.5^{\circ} \).