9. NK = 40.

Решение:

По условию задачи нам дан треугольник MNK. Известно, что сторона NK равна 40.

На стороне NK отмечена точка A. Длина отрезка NA обозначена как \( x \), а длина отрезка AK обозначена как \( y \).

Сторона MN имеет длину 28.

Сторона MK имеет длину 42.

В треугольнике MNK проведена биссектриса угла M, которая пересекает сторону NK в точке A.

По теореме о биссектрисе треугольника, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Таким образом, мы имеем пропорцию:

\[ \frac{MN}{MK} = \frac{NA}{AK} \]\[ \frac{28}{42} = \frac{x}{y} \]\[ \frac{2}{3} = \frac{x}{y} \]\[ y = \frac{3}{2} x \]

Также мы знаем, что сумма отрезков NA и AK равна длине стороны NK:

\[ x + y = 40 \]

Подставим значение \( y \) из первого уравнения во второе:

\[ x + \frac{3}{2} x = 40 \]\[ \frac{2x + 3x}{2} = 40 \]\[ \frac{5x}{2} = 40 \]\[ 5x = 80 \]\[ x = \frac{80}{5} \]\[ x = 16 \]

Теперь найдём \( y \):

\[ y = 40 - x \]\[ y = 40 - 16 \]\[ y = 24 \]

Проверим пропорцию:

\[ \frac{28}{42} = \frac{16}{24} \]\[ \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \]

Итак, \( x = 16 \) и \( y = 24 \).

Ответ: x = 16, y = 24.