9. Одна из сторон параллелограмма = 12, другая = 5, а тангенс одного из углов = $$\frac{\sqrt{2}}{4}$$. Найдите площадь параллелограмма.

Привет! Давай решим эту задачу.

Дано:

• Сторона параллелограмма (a) = 12
• Другая сторона параллелограмма (b) = 5
• Тангенс одного из углов (tg(α)) = $$\frac{\sqrt{2}}{4}$$

Найти: Площадь параллелограмма (S)

Решение:

1. Находим синус угла: Нам дан тангенс, но для площади нужен синус. Воспользуемся формулой, связывающей тангенс и синус:
\[ \text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \] Также знаем, что \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\). Выразим \(\cos(\alpha)\) через \(\text{tg}(\alpha)\): \[ \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2(\alpha)}} \] (берем положительный корень, т.к. угол параллелограмма обычно острый или тупой, но для вычисления площади это не принципиально, так как синус будет одинаковым). \[ \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{\sqrt{2}}{4})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{16}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{8}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{8}}} = \frac{1}{\frac{3}{\sqrt{8}}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] Теперь найдем синус: \[ \sin(\alpha) = \text{tg}(\alpha) \times \cos(\alpha) \] \[ \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} \] \[ \sin(\alpha) = \frac{2 \times 2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
2. Находим площадь параллелограмма: Теперь используем формулу площади параллелограмма:
\[ S = a \times b \times \sin(\alpha) \] \[ S = 12 \times 5 \times \frac{1}{3} \] \[ S = 60 \times \frac{1}{3} \] \[ S = 20 \]

Ответ: Площадь параллелограмма равна 20.