9. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а тангенс одного из углов равен \( \frac{\sqrt{2}}{4} \). Найдите площадь параллелограмма.

Краткое пояснение:

Площадь параллелограмма вычисляется как произведение двух сторон на синус угла между ними. Зная тангенс угла, мы можем найти синус этого угла.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем синус угла.
   Используем соотношение: \( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \) и основное тригонометрическое тождество \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \).
   Из \( \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4} \), выразим \( \cos(\alpha) = \frac{4}{\sqrt{2}} \sin(\alpha) \).
   Подставим в основное тождество: \( \sin^2(\alpha) + \left( \frac{4}{\sqrt{2}} \sin(\alpha) \right)^2 = 1 \)
   \( \sin^2(\alpha) + \frac{16}{2} \sin^2(\alpha) = 1 \)
   \( \sin^2(\alpha) + 8 \sin^2(\alpha) = 1 \)
   \( 9 \sin^2(\alpha) = 1 \)
   \( \sin^2(\alpha) = \frac{1}{9} \).
   Так как тангенс положителен, угол может быть острым. Следовательно, синус положителен: \( \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \).
2. Шаг 2: Вычислим площадь параллелограмма. Формула площади: \( S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \).
   \( S = 12 \cdot 5 \cdot \frac{1}{3} = 60 \cdot \frac{1}{3} = 20 \).

Ответ: 20