9. Одна сторона прямоугольника видна из середины его противоположной стороны под углом 90°. Найдите стороны этого прямоугольника, если его периметр равен 15 см (см. рис.).

Пусть длина прямоугольника равна \(a\), а ширина — \(b\). Из середины нижней стороны проведены отрезки к концам противоположной стороны. По условию угол между ними равен \(90^\circ\).

Введём координаты: середина нижней стороны — \(O\), концы верхней стороны — \(A\) и \(B\). Тогда \(OA\) и \(OB\) перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю:

\[\left(-\frac a2,b\right)\cdot\left(\frac a2,b\right)=0.\]

Отсюда

\[-\frac{a^2}{4}+b^2=0,\qquad b=\frac a2.\]

Периметр прямоугольника:

\[2(a+b)=15.\]

Подставим \(b=\frac a2\):

\[2\left(a+\frac a2\right)=15,\qquad 3a=15,\qquad a=5\text{ см}.\]

Тогда

\[b=\frac52=2.5\text{ см}.\]

Ответ: 5 см и 2,5 см.