9. Определите вид треугольника ABC и найдите его площадь, если его вершины имеют такие координаты: A(−5; 2; 1), B(−1; 2; 1), C(−5; 3; 1).

Найдём квадраты длин сторон по координатам:

\(\overrightarrow{AB}=(4;0;0)\), поэтому \(AB^2=4^2=16\).

\(\overrightarrow{AC}=(0;1;0)\), поэтому \(AC^2=1\).

\(\overrightarrow{BC}=(-4;1;0)\), поэтому \(BC^2=(-4)^2+1^2=17\).

Так как \(AB^2+AC^2=BC^2\), треугольник прямоугольный; прямой угол находится при вершине A. Все три стороны имеют разные длины, следовательно, треугольник разносторонний.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \(S=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot4\cdot1=2\).

Ответ: треугольник прямоугольный разносторонний; его площадь равна 2 кв. ед.