9. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0.06. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Обозначим событие \(A\) — перегорание лампы в течение года. Тогда вероятность этого события \( P(A) = 0.06 \).

Событие \(\overline{A}\) — неперегорание лампы в течение года. Его вероятность равна \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.06 = 0.94 \).

В помещении две лампы. Обозначим события:

• \(A_1\) — первая лампа перегорит в течение года. \( P(A_1) = 0.06 \).
• \(\overline{A_1}\) — первая лампа не перегорит в течение года. \( P(\overline{A_1}) = 0.94 \).
• \(A_2\) — вторая лампа перегорит в течение года. \( P(A_2) = 0.06 \).
• \(\overline{A_2}\) — вторая лампа не перегорит в течение года. \( P(\overline{A_2}) = 0.94 \).

Событие «хотя бы одна лампа не перегорит» означает, что не перегорит первая лампа, ИЛИ не перегорит вторая лампа, ИЛИ не перегорит обе лампы.

Проще посчитать обратное событие: «обе лампы перегорят в течение года».

Вероятность того, что обе лампы перегорят (предполагая независимость событий):

\[ P(A_1 \text{ и } A_2) = P(A_1) \times P(A_2) = 0.06 \times 0.06 = 0.0036 \]

Вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит, равна 1 минус вероятность того, что обе лампы перегорят:

\[ P(\text{хотя бы одна не перегорит}) = 1 - P(\text{обе перегорят}) = 1 - 0.0036 = 0.9964 \]

Ответ: 0.9964