9. Постройте график функции y= (0,75x²-1,5x)|x| / (x-2) и определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализируем функцию и область определения.
   Функция: \( y = \frac{(0.75x^2 - 1.5x)|x|}{x-2} \).
   Область определения: \( x
   eq 2 \).
   Раскроем модуль \( |x| \):
   
   • При \( x > 0 \) (и \( x
     eq 2 \)): \( |x|=x \). Функция: \( y = \frac{(0.75x^2 - 1.5x)x}{x-2} = \frac{0.75x^3 - 1.5x^2}{x-2} \).
   • При \( x < 0 \): \( |x|=-x \). Функция: \( y = \frac{(0.75x^2 - 1.5x)(-x)}{x-2} = \frac{-0.75x^3 + 1.5x^2}{x-2} \).
   • При \( x = 0 \): \( y = 0 \).
2. Шаг 2: Строим график для \( x > 0 \) (и \( x
   eq 2 \)).
   \( y = \frac{0.75x^3 - 1.5x^2}{x-2} \).
   Выделим целую часть (можно выполнить деление многочленов в столбик или по схеме Горнера, но для построения графика проще анализировать поведение):
   \( y = \frac{0.75x^2(x-2)}{x-2} = 0.75x^2 \) при \( x
   eq 2 \).
   Это парабола \( y = 0.75x^2 \) с выколотой точкой в \( x=2 \).
   При \( x=2 \), \( y = 0.75 · 2^2 = 0.75 · 4 = 3 \). Таким образом, точка (2, 3) выколота.
   На интервале \( (0, ∞) \), график состоит из части параболы \( y = 0.75x^2 \) с выколотой точкой (2, 3).
3. Шаг 3: Строим график для \( x < 0 \).
   \( y = \frac{-0.75x^3 + 1.5x^2}{x-2} \).
   Вынесем общий множитель из числителя: \( y = \frac{-0.75x^2(x-2)}{x-2} \).
   При \( x
   eq 2 \) (что выполняется для \( x < 0 \)), \( y = -0.75x^2 \).
   Это парабола \( y = -0.75x^2 \) ветвями вниз.
4. Шаг 4: Объединяем части графика.
   
   • Для \( x > 0 \) (и \( x
     eq 2 \)): \( y = 0.75x^2 \). Часть параболы ветвями вверх, проходит через (0,0). Выколота точка (2, 3).
   • Для \( x < 0 \): \( y = -0.75x^2 \). Часть параболы ветвями вниз, проходит через (0,0).
   • При \( x = 0 \) функция равна 0.

   На графике будут две ветви параболы, исходящие из (0,0). Правая ветвь (для \( x>0 \)) идет вверх и имеет выколотую точку (2,3). Левая ветвь (для \( x<0 \)) идет вниз.

5. Шаг 5: Определяем значения m.
   Ищем значения \( m \), при которых прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком.
   
   • Левая ветвь графика \( y = -0.75x^2 \) для \( x < 0 \) проходит через все отрицательные значения y, кроме 0. То есть, \( y < 0 \).
   • Правая ветвь графика \( y = 0.75x^2 \) для \( x > 0 \) (и \( x
     eq 2 \)) проходит через положительные значения y. Наименьшее значение (не включая 0) стремится к 0. Значение в точке \( x=2 \) выколото, это \( y=3 \).
   • График функции охватывает все значения \( y < 0 \) (левая ветвь) и все значения \( y > 0 \), кроме \( y=3 \) (правая ветвь).
   • Таким образом, прямая \( y=m \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( m \) находится в интервале значений, которые график не принимает.
   • График не принимает значение \( y=0 \) (так как \( x
     eq 0 \) для обеих ветвей, и \( y=0 \) только при \( x=0 \), но это особая точка, где происходит переход от одной ветви к другой, и сам график начинается от \( x=0 \) в обе стороны, не включая его в строгие интервалы \( x>0 \) и \( x<0 \) для этих формул, но значение \( y=0 \) достигается при \( x=0 \)).
   • Однако, если мы рассмотрим функцию более строго, то для \( x>0 \), \( y=0.75x^2 \) достигает 0 только при \( x=0 \). Для \( x<0 \), \( y=-0.75x^2 \) достигает 0 только при \( x=0 \). Значит, \( y=0 \) является общим значением.
   • Учитывая выколотую точку \( (2,3) \) на правой ветви, значение \( y=3 \) не достигается для \( x > 0 \).
   • Левая ветвь \( y = -0.75x^2 \) для \( x < 0 \) принимает все значения \( y < 0 \).
   • Правая ветвь \( y = 0.75x^2 \) для \( x > 0 \), \( x ≠ 2 \) принимает значения \( y > 0 \), но \( y ≠ 3 \).
   • Следовательно, прямая \( y=m \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( m \) находится между отрицательными значениями и положительными значениями, которые не достигаются.
   • Значения, которые не достигаются:
   • \( y=0 \) (так как \( x=0 \) для обеих формул, и \( y=0 \) при \( x=0 \)).
   • \( y=3 \) (выколотая точка).
   • Поэтому, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком, если \( m=0 \) или \( m=3 \).

Ответ: Прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки при m=0 и m=3.