9. Постройте график функции y = $\frac{(0.75x^2 - 1.5x)|x|}{x - 2}$ и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 9. Постройте график функции y = $\frac{(0.75x^2 - 1.5x)|x|}{x - 2}$ и определите, при каких значениях m прямая y = m не…$ Фото задания

9. Постройте график функции y = $\frac{(0.75x^2 - 1.5x)|x|}{x - 2}$ и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Accepted Answer

Решение:

Рассмотрим функцию $ y = \frac{(0.75x^2 - 1.5x)|x|}{x - 2} $.

Сначала раскроем модуль $ |x| $.

Если $ x \ge 0 $:
$ y = \frac{(0.75x^2 - 1.5x)x}{x - 2} = \frac{0.75x^3 - 1.5x^2}{x - 2} $.
Вынесем $ 0.75x^2 $ из числителя: $ y = \frac{0.75x^2(x - 2)}{x - 2} $.
При $ x \ne 2 $, $ y = 0.75x^2 $.
Отметим, что $ x \ge 0 $, и $ x \ne 2 $.
Если $ x < 0 $:
$ y = \frac{(0.75x^2 - 1.5x)(-x)}{x - 2} = \frac{-0.75x^3 + 1.5x^2}{x - 2} $.
Вынесем $ -0.75x^2 $ из числителя: $ y = \frac{-0.75x^2(x - 2)}{x - 2} $.
При $ x \ne 2 $, $ y = -0.75x^2 $.
Отметим, что $ x < 0 $.

Итак, функция имеет вид:

$ y = 0.75x^2 $ при $ x \ge 0, x \ne 2 $
$ y = -0.75x^2 $ при $ x < 0 $

Построим график:

Для $ x \ge 0, x \ne 2 $ — это часть параболы $ y = 0.75x^2 $. Точка $ (2, 0.75 · 2^2) = (2, 3) $ выколота.
Для $ x < 0 $ — это часть параболы $ y = -0.75x^2 $.

График состоит из двух ветвей парабол, расположенных в разных полуплоскостях.

Теперь определим, при каких значениях $ m $ прямая $ y = m $ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Для $ x < 0 $, $ y = -0.75x^2 $. Значения $ y $ всегда отрицательны, так как $ x^2 > 0 $ и $ -0.75 < 0 $. Максимальное значение $ y $ стремится к 0 при $ x \to 0^- $, но не достигает его.
Для $ x ≥ 0, x \ne 2 $, $ y = 0.75x^2 $. Это часть параболы, ветвь идет вверх от $ (0, 0) $ и имеет выколотую точку $ (2, 3) $.

Рассмотрим значения $ y $ для каждой части:

Для $ x < 0 $: $ y \in (-∞, 0) $.
Для $ x ≥ 0, x \ne 2 $: $ y \in [0, ∞) $ за исключением значения $ y = 3 $ в точке $ x=2 $. То есть $ y ∈ [0, 3) \cup (3, ∞) $.

Объединяя все возможные значения $ y $ на графике, получаем $ y \in (-∞, 0) \cup [0, 3) \cup (3, ∞) $.

Прямая $ y = m $ будет иметь общую точку с графиком, если $ m $ принадлежит множеству значений функции. Прямая $ y = m $ не будет иметь ни одной общей точки с графиком, если $ m $ не принадлежит этому множеству.

Множество значений функции: $ (-∞, 0) \cup [0, 3) \cup (3, ∞) $ = $ (-∞, 3) \cup (3, ∞) $.

Значение $ y = 3 $ не достигается на графике в точке $ x=2 $ (она выколота), а для $ x < 0 $ значения $ y $ всегда отрицательны.

Таким образом, прямая $ y = m $ не будет иметь общих точек с графиком, когда $ m = 3 $.

Ответ: $ m = 3 $.

9. Постройте график функции y = \(\frac{(0.75x^2 - 1.5x)|x|}{x - 2}\) и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ:

Решение: