9. Постройте график функции \(y=\frac{6}{x}\) и, используя его, решите уравнения: а) \(\frac{6}{x}=x\); б) \(\frac{6}{x}=-x+6\).

Строим график \(y=\frac{6}{x}\) при \(x\ne0\), а для поиска решений добавляем на тот же чертёж прямые \(y=x\) и \(y=-x+6\). Решения уравнений — абсциссы точек пересечения соответствующих графиков.

а) Точки пересечения графиков \(y=\frac{6}{x}\) и \(y=x\) удовлетворяют уравнению \(\frac{6}{x}=x\). Умножаем обе части на \(x\), учитывая, что \(x\ne0\): \(x^2=6\). Поэтому \(x=\pm\sqrt{6}\).

б) Для пересечения с прямой \(y=-x+6\): \(\frac{6}{x}=-x+6\). Умножаем на \(x\ne0\): \(6=-x^2+6x\), откуда \(x^2-6x+6=0\). По формуле корней получаем \(x=3\pm\sqrt{3}\); оба корня не равны нулю.

Ответ: а) \(x=-\sqrt{6},\;\sqrt{6}\); б) \(x=3-\sqrt{3},\;3+\sqrt{3}\).