9. Постройте график функции y = sin\(x + \frac{\pi}{6}\) - 1 и запишите ее свойства. 10. Найдите абсциссы точек пересечения прямой y = -1 и графика функции y = sin x + cos x.

Задание 9: Построение графика функции и ее свойств

Функция: \[ y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1 \]

Свойства функции:

• Область определения: Вся числовая прямая

  \[ \mathbb{R} \]

• Область значений:

  \[ [-2; 0] \]

• Периодичность: Функция периодична с периодом T = 2π, так как период функции sin(x) равен 2π.

  \[ \sin\left(x + 2\pi + \frac{\pi}{6}\right) - 1 = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1 \]

• Монотонность: Функция возрастает на промежутках

  \[ \left[-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n\right] \quad \text{или} \quad \left[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right] \]

  , где n - любое целое число. Функция убывает на промежутках

  \[ \left[\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n\right] \quad \text{или} \quad \left[\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n\right] \]

  , где n - любое целое число.
• Четность/Нечетность: Функция ни четная, ни нечетная.

  \[ \sin\left(-x + \frac{\pi}{6}\right) - 1
  eq \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1 \] и \[ \sin\left(-x + \frac{\pi}{6}\right) - 1
  eq -\left(\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1\right) \]

• Нули функции: Функция пересекает ось Ox, когда y = 0.

  \[ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1 = 0 \] \[ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 \] \[ x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \] \[ x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \]

  , где n - любое целое число.
• Точки экстремума: Функция достигает максимума, когда sin(x + π/6) = 1, то есть y = 1 - 1 = 0. Функция достигает минимума, когда sin(x + π/6) = -1, то есть y = -1 - 1 = -2.
• Сдвиг: График функции sin(x) смещен влево на π/6 и вниз на 1.

График:

Задание 10: Нахождение абсцисс точек пересечения

Условие:

• Прямая: y = -1
• График функции: y = sin x + cos x

Нам нужно найти точки, где эти два уравнения имеют одинаковое значение y. Приравниваем правые части уравнений:

\[ \sin x + \cos x = -1 \]

Чтобы решить это уравнение, можно использовать несколько методов. Один из них - преобразование суммы синуса и косинуса в произведение или использование вспомогательного угла.

Метод 1: Использование вспомогательного угла

Представим sin x + cos x в виде R sin(x + α) или R cos(x - α).

R = \(\sqrt{1^2 + 1^2}\) = \(\sqrt{2}\).

\(\sin\) x + \(\cos\) x = \(\sqrt{2}\) \(\left\)\(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right\)

Так как cos(π/4) = sin(π/4) = 1/\(\sqrt{2}\), то:

\[ \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin x + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos x \right) = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \]

Теперь наше уравнение выглядит так:

\[ \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -1 \]

\[ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

Значение sin(θ) = -1/\(\sqrt{2}\) достигается при θ = 5π/4 и θ = 7π/4 (или -π/4).

Следовательно, решения для x + π/4:

1. \[ x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \] \[ x = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \] \[ x = \frac{4\pi}{4} + 2\pi n \] \[ x = \pi + 2\pi n \]

2. \[ x + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \] \[ x = \frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \] \[ x = \frac{6\pi}{4} + 2\pi n \] \[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \]

где n - любое целое число.

Метод 2: Возведение в квадрат (менее предпочтительный из-за посторонних корней)

\(\sin\) x + \(\cos\) x = -1

\(\sin x + \cos x\)^2 = (-1)^2

\(\sin\)^2 x + 2 \(\sin\) x \(\cos\) x + \(\cos\)^2 x = 1

\(\sin^2 x + \cos^2 x\) + 2 \(\sin\) x \(\cos\) x = 1

1 + \(\sin\)(2x) = 1

\(\sin\)(2x) = 0

2x = \(\pi\) n

x = \(\frac{\pi n}{2}\)

Теперь нужно проверить эти корни в исходном уравнении \(\sin\) x + \(\cos\) x = -1, так как возведение в квадрат могло добавить посторонние корни.

• Если n=0, x = 0. sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1 ≠ -1 (посторонний корень).
• Если n=1, x = π/2. sin(π/2) + cos(π/2) = 1 + 0 = 1 ≠ -1 (посторонний корень).
• Если n=2, x = π. sin(π) + cos(π) = 0 + (-1) = -1 (подходит).
• Если n=3, x = 3π/2. sin(3π/2) + cos(3π/2) = -1 + 0 = -1 (подходит).
• Если n=4, x = 2π. sin(2π) + cos(2π) = 0 + 1 = 1 ≠ -1 (посторонний корень, совпадает с n=0).

Таким образом, подходят значения x = π и x = 3π/2, что соответствует решениям из первого метода, учитывая периодичность.

Ответ: Абсциссы точек пересечения:

• \[ x = \pi + 2\pi n \]

• \[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \]

где n - любое целое число.