9. Постройте график функции y = sin(x + pi/6) - 1 и запишите ее свойств 10. Найдите абсциссы точек пересечения прямой y = -1 и графи функции y = sin x + cos x.

Задание 9: Построение графика функции и ее свойств

Функция:
y = sin\(x + \frac{\pi}{6}\) - 1

Свойства функции:

1. Период: Основной период функции синуса равен 2π, поэтому период данной функции также 2π.
2. Амплитуда: Амплитуда равна 1 (коэффициент перед синусом).
3. Сдвиг по горизонтали: График функции y = sin(x) сдвинут влево на \(\frac{\pi}{6}\).
4. Сдвиг по вертикали: График функции y = sin\(x + \frac{\pi}{6}\) сдвинут вниз на 1.
5. Область значений: Так как амплитуда равна 1, и есть сдвиг на -1, область значений функции: [ -1 - 1; 1 - 1 ] = [-2; 0].
6. Нули функции: Найдем, где sin\(x + \frac{\pi}{6}\) - 1 = 0, то есть sin\(x + \frac{\pi}{6}\) = 1. Это происходит, когда x + \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac{\pi}{2}\) + 2\(\pi\) n, где n — целое число. Следовательно, x = \(\frac{\pi}{2}\) - \(\frac{\pi}{6}\) + 2\(\pi\) n = \(\frac{3\pi - \pi}{6}\) + 2\(\pi\) n = \(\frac{2\pi}{6}\) + 2\(\pi\) n = \(\frac{\pi}{3}\) + 2\(\pi\) n.
7. Точки максимума: Максимум функции достигается, когда sin\(x + \frac{\pi}{6}\) = 1, то есть при x = \(\frac{\pi}{3}\) + 2\(\pi\) n. Максимальное значение y = 1 - 1 = 0.
8. Точки минимума: Минимум функции достигается, когда sin\(x + \frac{\pi}{6}\) = -1, то есть при x + \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac{3\pi}{2}\) + 2\(\pi\) n. Следовательно, x = \(\frac{3\pi}{2}\) - \(\frac{\pi}{6}\) + 2\(\pi\) n = \(\frac{9\pi - \pi}{6}\) + 2\(\pi\) n = \(\frac{8\pi}{6}\) + 2\(\pi\) n = \(\frac{4\pi}{3}\) + 2\(\pi\) n. Минимальное значение y = -1 - 1 = -2.

Задание 10: Абсциссы точек пересечения

Условие: Найти абсциссы точек пересечения прямой y = -1 и функции y = sin(x) + cos(x).

Решение:

Приравняем уравнения:

sin(x) + cos(x) = -1

Для решения этого уравнения, возведем обе части в квадрат:

(sin(x) + cos(x))^2 = (-1)^2

sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 1

Вспомним основное тригонометрическое тождество: sin^2(x) + cos^2(x) = 1 и формулу двойного угла: 2sin(x)cos(x) = sin(2x).

Подставляем:

1 + sin(2x) = 1

sin(2x) = 0

Это значит, что:

2x = \(\pi\) n, где n — целое число.

x = \(\frac{\pi n}{2}\)

Теперь необходимо проверить эти решения, так как возведение в квадрат могло привести к посторонним корням. Подставим полученные значения x в исходное уравнение sin(x) + cos(x) = -1.

1. При n = 0: x = 0. sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1. 1 \(
eq\) -1. Это посторонний корень.
2. При n = 1: x = \(\frac{\pi}{2}\). sin\(\frac{\pi}{2}\) + cos\(\frac{\pi}{2}\) = 1 + 0 = 1. 1 \(
eq\) -1. Это посторонний корень.
3. При n = 2: x = \(\pi\). sin\(\pi\) + cos\(\pi\) = 0 + (-1) = -1. -1 = -1. Это решение.
4. При n = 3: x = \(\frac{3\pi}{2}\). sin\(\frac{3\pi}{2}\) + cos\(\frac{3\pi}{2}\) = -1 + 0 = -1. -1 = -1. Это решение.
5. При n = 4: x = 2\(\pi\). sin\(2\pi\) + cos\(2\pi\) = 0 + 1 = 1. 1 \(
eq\) -1. Это посторонний корень.

Видно, что решения повторяются с периодом 2π. Корни, удовлетворяющие исходному уравнению, это x = \(\pi\) + 2\(\pi\) k и x = \(\frac{3\pi}{2}\) + 2\(\pi\) k, где k — целое число.

Ответ: Абсциссы точек пересечения: x = \(\pi\) + 2\(\pi\) k и x = \(\frac{3\pi}{2}\) + 2\(\pi\) k, где k — любое целое число.