9. Постройте график функции y = x² - 2|x| - 1. Запишите область значений функции и промежутки возрастания функции.

Решение:

Для построения графика функции y = x² - 2|x| - 1, рассмотрим два случая:

• При x ≥ 0: y = x² - 2x - 1. Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке x = -(-2)/(2*1) = 1. Значение функции в вершине: y = 1² - 2*1 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2. Точка пересечения с осью y (при x=0): y = -1.
• При x < 0: y = x² + 2x - 1. Это также парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке x = -(2)/(2*1) = -1. Значение функции в вершине: y = (-1)² + 2*(-1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2.

График функции:

Область значений функции:

Минимальное значение функции достигается в вершинах парабол и равно -2. Функция может принимать любые значения, большие или равные -2.

E(y) = [-2; +∞)

Промежутки возрастания функции:

Функция возрастает на промежутках, где ее график идет вверх при увеличении x.

• Для x ≥ 0, функция y = x² - 2x - 1 возрастает при x ≥ 1.
• Для x < 0, функция y = x² + 2x - 1 возрастает при x ≥ -1.

Объединяя эти промежутки, функция возрастает при x ≥ -1.

Функция возрастает при значениях аргумента: [-1; +∞)