9. Проиллюстрируйте при помощи кругов Эйлера, что для любых множеств A, B и C верны равенства: а) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C); б) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C); в) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C); г) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C).

Круги Эйлера для каждого равенства строят одинаково: в обоих выражениях закрашивают одни и те же области. Это также проверяется по принадлежности произвольного элемента множеству.

1. а) Пусть x — произвольный элемент. Тогда x ∈ A \ (B ∪ C) означает: x ∈ A, x ∉ B и x ∉ C. Это равносильно тому, что x принадлежит одновременно A \ B и A \ C, то есть x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C).

   На круге Эйлера с обеих сторон закрашивается часть A, не пересекающаяся ни с B, ни с C.

2. б) x ∈ A \ (B ∩ C) означает: x ∈ A и неверно, что x одновременно принадлежит B и C. Значит, x ∈ A \ B или x ∈ A \ C. Следовательно, x ∈ (A \ B) ∪ (A \ C).

   Закрашивается часть A, кроме общей области B и C.

3. в) x ∈ (A ∪ B) \ C означает: x принадлежит A или B и при этом не принадлежит C. Это равносильно условию x ∈ A \ C или x ∈ B \ C, то есть x ∈ (A \ C) ∪ (B \ C).

   Закрашиваются части A и B, лежащие вне C.

4. г) x ∈ (A \ B) ∩ C означает: x ∈ A, x ∉ B и x ∈ C. Это равносильно тому, что x ∈ A ∩ C, но x не принадлежит B ∩ C. Поэтому x ∈ (A ∩ C) \ (B ∩ C).

   Закрашивается общая часть A и C, лежащая вне B.

Ответ: все четыре равенства верны: соответствующие области кругов Эйлера совпадают.